定义
设 \(V\) 是内积空间，\(f\in Hom(V,V)\). 若
\[<f(\alpha),f(\beta)>=<\alpha,\beta>,\forall \alpha,\beta\in V
\]
称 \(f\) 是等距变换。
若 \(F=R\)，称 \(f\) 是正交变换，因为此时 \(f\) 的变换矩阵是一个正交矩阵；
若 \(F=C\)，称 \(f\) 是酉变换，因为此时 \(f\) 的变换矩阵是一个酉矩阵；
问题
设 \(A\) 是酉矩阵。\(f:C^n\rightarrow C^n\) 定义为：
\[f(x) = Ax, \forall x\in C^n
\]
证明 \(f\) 是一个酉变换。
证明
只要证明 \(\forall x,y\in C^n\)，\(<f(x),f(y)>=<x,y>\) 即可。
\[<f(x),f(y)>=<Ax,Ay>=(Ay)^H(Ax)=y^H A^H Ax= y^H I x=y^H x = <x,y>
\]
所以 \(f\) 是一个酉变换。
