定理

设 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的标准正交基，若

\[[\gamma_1,\cdots,\gamma_n]=[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]U \]

则，\(\gamma_1,\cdots,\gamma_n\) 是标准正交基 \(\Leftrightarrow\) \(U\)是酉矩阵。

酉矩阵定义

\(n\) 阶复矩阵 \(A\) 称为是酉矩阵，若 \(A^HA=I\)。

证明

要证 \(U\) 是酉矩阵，证明 \(U\) 的列是标准正交基即可。
把 \(U\) 写成 \(U=[u_1,\cdots,u_n]\)，则 \(u_i\) 是 \(\gamma_i\) 在 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 下的坐标。

  1. 必要性：由于 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的标准正交基，则根据标准正交基和度量矩阵的性质，有
    \(<\gamma_i,\gamma_j>=<u_i,u_j>=\left\{ \begin{aligned} 1, i=j\\ 0, i\ne j \end{aligned} \right.\)

  2. 由上式，可以看出充分性与必要性一样。

同一个线性空间，正交基组的选择有很多种，酉矩阵描述了不同正交基组之间的转换关系。其实酉矩阵的列也可以看作是一组标准正交基。