度量矩阵

设 \(e_1,\cdots,e_n\) 是 \(V\) 的基，\(\alpha,\beta\in V\)的坐标是

\[X=[x_1,\cdots,x_n]^T,Y=[y_1,\cdots,y_n]^T \]

则

\[<\alpha,\beta>=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i\overline{y}_j<e_i,e_j> =X^TA\overline{Y} \]

其中 \(A=(<e_i,e_j>)_{n\times n}\)，称 \(A\) 是 \(V\) 在基 \(e_1,\cdots,e_n\) 下的度量矩阵。

设 \(e_1,\cdots,e_n\) 是 \(V\) 的标准正交基，则 \(A=I\) 是单位矩阵，此时 \(<\alpha,\beta>_V = X^T \overline{Y}=Y^H X = <X,Y>_{C^n}\).
也就是说，在标准正交基下，空间 \(V\) 中的两个向量的内积等于它们坐标的内积。

题目

假设 \(V\) 在基 \(e_1,e_2\) 下的度量矩阵是 \(A=[1,2;2,5]\), 求 \(V\) 的一组标准正交基。

解答

  1. 正交化：
    度量矩阵包含了各个基的内积信息。令 \(\beta_1=e_1\)，则
    \(\beta_2 = e_2 -\frac{<e_2,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1 =e_2 - 2e_1\)

  2. 标准化：
    \(<\beta_1,\beta_1>=<e_1,e_1>=1\)。\(\beta_2\) 的在基 \(e_1,e_2\) 下的坐标为 \([-2,1]^T\)，则 \(<\beta_2,\beta_2>=[-2,1]A[-2,1]^T=1\)，
    因此
    \(\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\| \beta_1 \|} = \beta_1=e_1\)
    \(\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\| \beta_2 \|} = \beta_2=e_2-2e_1\)
    即是 \(V\) 的一组标准正交基。