定理

假设 \(f\in Hom(V,U)\), \(f\) 的值域 \(f(V)\) 及核子空间 \(f^{-1}(\theta)\) 常被记为 \(R(f)\) 和 \(K(f)\)，若 \(f\) 在基偶 \(V:\alpha_1,\cdots,\alpha_s;\)\(U:\beta_1,\cdots,\beta_n\) 下的矩阵式 \(A\)，则

\[dim\ R(f) = rank(A)\\ dim\ K(f) = s - rank(A) \]

如果 \([A_1,\cdots,A_r]\) 是 \(A\) 的极大无关线性组，\(A_i\) 是一个列向量，则 \(R(f)\) 的一组基是 \([\beta_1,\cdots,\beta_s][A_i,\cdots,A_r]\)。
如果 \([X_1,\cdots,X_{s-r}]\) 是 \(AX=\theta\) 的基础解系，\(\eta_j\) 是以 \(X_j\) 为坐标的 \(V\) 中的向量，则 \(\eta_1,\cdots,\eta_{s-r}\) 是 \(K(f)\) 的基。

题目

设 \(f\in Hom(F^{2\times 2}, F^{2\times 2})\) 定义为：
对 \(\forall X=\left [\begin{matrix} a& b\\ c& d \end{matrix}\right ], f(x) = \left [\begin{matrix} a+b& b+c\\ c+d& d+a \end{matrix}\right ]\)
求 \(R(f)\) 及 \(K(f)\) 的一组基及维数。

解答

先求变换矩阵 \(A\)，

\[[f(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}] = [E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}]\left [ \begin{matrix} 1&1&0&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&1\\ 1&0&0&1 \end{matrix} \right ] \]

\(A\) 即为上式右方的数字矩阵，通过初等行变化，可以把 \(A\) 变成

\[A \sim \left [ \begin{matrix} 1&0&0&1\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right ] \]

则 \(R(f)\) 的一组基为 \(f(E_{11}),f(E_{12}),f(E_{21})\)，当然也可以用 \([E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}][A_1,A_2,A_3]\) 来求，结果一样。\(dim\ R(f) = 3\)。
求核空间，\(AX=\theta\) 的一组基础解系为 \(X=[-1,1,-1,1]^T\) ，则核子空间的基为 \([E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}]X = [-1,1;-1,1]\)，\(dim\ K(f)=1\)。