定理一

若 \(f\in Hom(V,U)\) 在基偶 \(V:a_1,\cdots,a_s\); \(U:b_1,\cdots,b_n\) 下的矩阵是 \(A\),\(\eta\in V\) 在 \(a_1,\cdots,a_s\) 的坐标是 \(X\)，则 \(f(\eta)\) 在基 \(b_1,\cdots,b_n\) 下的坐标是 \(AX\)。

定理二

若 \(f\in Hom(V,U)\) 在基偶 \(V:a_1,\cdots,a_s\); \(U:b_1,\cdots,b_n\) 下的矩阵是 \(A\)。则 \(f\) 在新的基偶

\[(a_1',\cdots,a_s')=(a_1,\cdots,a_s)P\\ (b_1',\cdots,b_n')=(b_1,\cdots,b_n)Q \]

下的矩阵是

\[B = Q^{-1}AP \]

特别地，若 \(f\in Hom(V,V)\) 在基 \(a_1, \cdots, a_s\) 下的矩阵是 \(A\)，则 \(f\) 在新的基下的矩阵是 \(B = P^{-1}AP\).

定理一证明

根据描述，\(\eta = (a_1,\cdots,a_s)X\)，因为 \(f\) 是线性映射，则 \(f(\eta)=f((a_1,\cdots,a_s)X)=f(a_1,\cdots,a_s)X=(b_1,\cdots,b_n)AX=(b_1,\cdots,b_n)(AX)\)，证毕！
理解的关键在于 \(a_i\) 和 \(b_i\) 都是基， \(X\) 是坐标(一列)，则\((a_1,\cdots,a_s)X\) 的是对基 \((a_1,\cdots,a_s)\) 的线性组合。\(A\) 也一样，每一列对 \((b_1,\cdots,b_n)\) 进行线性组合。

定理二证明

根据描述，要证明的内容是：

\[f((a_1',\cdots,a_s'))=(b_1',\cdots,b_n')B\\ B = Q^{-1}AP \]

首先看 \(f(a_i')\) , \(a_i'=(a_1,\cdots,a_s)P_i\)，其实 \(P_i\) 是 \(P\) 的第\(i\)列，看做是 \(a_i\) 的坐标。根据定理一，\(f(a_i')=(b_1,\cdots,b_n)AP_i\)，则 \(f(a_1,\cdots,a_s)=(b_1,\cdots,b_n)AP\)。
再根据 \((b_1',\cdots,b_n')=(b_1,\cdots,b_n)Q\)，这里把 \(Q\) 看成两个基的过渡矩阵，求逆带入上面，即可得证。

题目

求线性变换 \(f:F_3[x]\rightarrow F_3[x]\),\(f(p(x))=p'(x)\),\(\forall p(x)\in F_3[x]\) 在基 \(p_1(x)=1+x+3x^2, p_2(x)=1+x, p_3(x)=1+2x-x^2\) 下的矩阵。

解答

方法一看起来比较简单：
\([f(p_1(x),f(p_2(x)),f(p_3(x))] = [p_1(x),p_2(x),p_3(x)]A\)
左边求出多项式，解方程组求出 \(A\) 即可。

方法二更简单：
在定义域内取基 \(1_v,x_v,x^2_v\)，下标 \(V\) 说明是在定义域内。在值域内取基 \(1_u,x_u,x^2_u\) ，（下标 \(u,v\) 仅仅是为了方便理解，其实是一样的）
则 \([f(1_v),f(x_v),f(x^2_v)]=[1_u,x_u,x^2_u] \left ( \begin{matrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right ) \)
右方的数字构成的矩阵即是矩阵 \(A\)。下面求 \(P,Q\)，易得

\[P = I_3\\ Q = \left ( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \end{matrix} \right ) \]

则所求的变换矩阵即为 \(Q^{-1}AP\)。