定义
设 \(f\in Hom(V,U)\)。选定基偶：
\[V:\alpha_1,\cdots,\alpha_s \\
U:\beta_1,\cdots,\beta_n
\]
若 \((f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_s))=(\beta_1,\cdots,\beta_n)A\) ，则称 \(A\) 是 \(f\) 在选定基偶下的矩阵。
\(f\in Hom(V,U)\) 代表 \(f:V\rightarrow U\) 是一个线性映射。
如果 \(U=V\)，那可以把基取得一样。如果有
\[(f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_s))=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)A
\]
则称 \(A\) 是线性变换 \(f\) 在所选基下的矩阵。
题目
\(f\in Hom(F^{2\times 2}, F^{2\times 2})\) 定义为：
\[f(X) = \left (
\begin{matrix}
a-3b & b+2c \\
a-b-c & a+b-3c+4d
\end{matrix}
\right )
\]
其中，\(f(X) = \left (
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
\right )
\in F^{2\times 2}\),
求 \(f\) 在基 \(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\) 下的矩阵。
解答
按照定义搭好框架，一步一步来即可。为了书写方便，矩阵采用Matlab写法，即不同行用分号隔开。
定义域中基 \(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\),代入 \(f(X)\)，得
\[f(E_{11})=[1\ 0;1\ 1]\\
f(E_{12})=[-3\ 1;-1\ 1] \\
f(E_{21})=[0\ 2;-1\ -3]\\
f(E_{22})=[0\ 0;0\ 4]
\]
因此，
\[(f(E_{11}),f(E_{12}),f(E_{21}),f(E_{22}))=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) \left ( \begin{matrix}
1 & -3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
1 & -1 & -1& 0 \\
1 & 0 & -3 & 4
\end{matrix}
\right )
\]
右方即为所求的矩阵，记为 \(A\)。\(A\) 的每一列通过把 \(E_{11},\cdots,E_{22}\) 进行线性组合得到一个 \(f\) 的变换。
