线性映射的性质

假设 \(f:V\rightarrow U\) 是线性映射，则：

  1. \(f(\theta)=\theta\), \(\theta\) 代表 \(0\)
  2. 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V, k_1,k_2,\cdots, k_s\in F\)，则 \(f(\sum_{i=1}^s k_i\alpha_i) =\sum_{i=1}^sk_i f(\alpha_i)\)
  3. 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V\) 线性相关，则 \(f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots,f(\alpha_s)\in U\) 线性相关
  4. 若 \(V=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\)，则 \(f\) 的值域 \(f(V)=L(f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots,f(\alpha_s))\); \(L\) 表示里面元素张成的子空间
  5. \(f^{-1}(\theta)=\{x\in V|f(x)=\theta\}\) 是 \(V\) 的子空间，称为 \(f\) 的核子空间

题目

设 \(A\in F^{s\times n}\)，求线性映射 \(f\) 的值域及核子空间的基和维数，其中： \(f:F^n \rightarrow F^s\) 定义为：\(f(x)=Ax, \forall x\in F^s\).

解答

\(f\) 的定义域为 \(F^n = L(e_1,e_2,\cdots,e_n)\) ，则值域为 \(f(F^n)=L(f(e_1),\cdots,f(e_n))\) 。
把 \(A\) 写成 \(A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\) 的形式，则 \(Ae_j = \alpha_j\) 。
所以 \(f(F^n)=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)。其基即是 \(A\) 中的一个极大无关组，维数等于 \(A\) 的列向量中的极大无关组的组数，也等于 \(A\) 的秩 \(R(A)\)。

\(f\) 的核子空间 \(f^{-1}(\theta)=\{x|f(x)=\theta\}=\{x|Ax=\theta\}\)，这个空间的基即是 \(Ax=\theta\) 的基础解系，其维数为 \(n-R(A)\)。