题目
设 \(A = \left [\begin{matrix} 1&0\\ 2&1 \end{matrix}\right ]\)，证明：\(W = \{X\in F^{2\times 2}| AX = XA\}\) 是 \(F^{2\times 2}\) 的子空间，并求 \(W\) 的一组基。
解答
要证明 \(W\) 是一个子空间，只要证明 \(W\) 满足加法和数乘封闭性即可，有问题的话参见工程矩阵论。
- 证明加法封闭性： 设 \(X_1,X_2\in W\)，则 \(A(X_1+X_2)=AX_1+AX_2=X_1A+X_2A = (X_1+X_2)A\)，满足 \(W\) 的定义，即 \(X_1+X_2\in W\)
- 证明数乘封闭性： 设 \(X\in W, k\in R\)，则 \(A(kX) = k(AX) =k(XA)= (kX)A\)，\(kX\) 满足 \(W\) 的定义。
综合1，2， \(W\) 是 \(F^{2\times 2}\) 的子空间。
下面求基。首先看 \(X\) 应满足的性质，设 \(X= \left [\begin{matrix} a&b\\ c&d \end{matrix}\right ]\)，有 \(AX=XA\) 可以得出 \(b=0, a=d\)，所以
\[X = \left [
\begin{matrix}
a & 0\\
c & a
\end{matrix}
\right ]
=
a\left [
\begin{matrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{matrix}
\right ]
+
c \left [
\begin{matrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{matrix}
\right ]
\]
所以 \(W\) 的一组基即为 \(M_1=\left [\begin{matrix} 1&0\\ 0&1 \end{matrix}\right ]\) , \(M_2= \left [\begin{matrix} 0&0\\ 1&0 \end{matrix}\right ]\)
可以证明 \(M_1,M_2\) 满足基的定义，即 \(M_1, M_2\in W\)， \(M_1,M_2\) 线性无关，\(W\) 中的任意一个元素都可以由 \(M_1,M_2\) 表示。
