题目
在 \(F_3[x]\) 中，求 \(f(x)=1+x+x^2\) 在基
\(B = [2+x, x+x^2, 2x+3x^2]\)
下的坐标 \(y\)。
解答
\(f(x)\) 在基 \(E = [1,x,x^2]\) 下的坐标为 \(x = [1,1,1]^T\)
基 \(E\) 到基 \(B\) 的过渡矩阵为 \(A\)，则
\[[2+x, x+x^2, 2x+3x^2] = [1,x,x^2] \left [
\begin{matrix}
2 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3
\end{matrix}
\right ]
\]
上面的数字形成的矩阵即为 \(A\)，\(A\) 的每一列与 \(E\) 的每个基线性组合，形成 \(B\) 的一个基。
根据基与坐标的关系，\(f(x)\) 在基 \(B\) 下的坐标 \(y = A^{-1}x\)。
