题目

定义空间 \(V = R^+\)，域 \(F=R\)
定义新的运算：

\[\oplus: \alpha,\beta \in V, \alpha\oplus \beta = \alpha\beta \\ \circ: \alpha \in V, k\in F, k\circ \alpha = \alpha^k \]

证明 \(V\) 在域 \(F\) 上是线性空间。

证明

  1. \(\alpha\oplus\beta = \beta\oplus\alpha\)
  2. \((\alpha\oplus\beta)\oplus\gamma = \alpha\oplus(\beta\oplus\gamma)\)
  3. \(\exists \theta=1\in V, \forall \alpha \in V, \alpha\oplus\theta=\alpha\)
  4. \(\forall \alpha\in V, \exists \beta=\frac{1}{\alpha}\in V, \alpha\oplus\beta=1=\theta\)
  5. \(\forall \alpha\in V,\exists 0\in F, 0\circ \alpha=\alpha\)
  6. \(\forall \alpha\in V,l,k\in F, k\circ(l\circ\alpha)=(kl)\circ(\alpha)=\alpha^{kl}\)
  7. \(\forall \alpha\in V, l,k\in F,(k\oplus l)\circ\alpha = k\circ\alpha\oplus l\circ\alpha=\alpha^{k+l}\)
  8. \(\forall \alpha,\beta\in V, k\in F, k\circ(\alpha\oplus\beta)=k\circ\alpha\oplus k\circ\beta=(\alpha\beta)^k\)

以上等式满足线性空间的定义，所以 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间。