题目
假设 \(s\times n\)矩阵 \(A\) 的秩为 \(r\) ， 证明存在 $s\times r $ 矩阵 \(B\) 及 \(r\times n\) 矩阵 \(C\) ，使得 \(A=BC\) 。
证明
可以证明矩阵 \(B\),\(C\) 的秩均为 \(r\)，其实 \(r=R(A)=R(BC)\le R(B),R(C) \le r\), 易得 \(R(B)=R(C)=r\), 用到了两个相乘矩阵的积小于等于两个因数的秩，以及矩阵的秩不会超过行数或列数。
考虑一种特殊情形，如果 \(A\) 如下，则可以拆分成两个秩为 \(r\) 的矩阵
\[A = \left [
\begin{matrix}
I_r & O\\
O & O\\
\end{matrix}
\right ]
=
\left [
\begin{matrix}
I_r \\
O \\
\end{matrix}
\right ]
\left [
\begin{matrix}
I_r & O\\
\end{matrix}
\right ]
\]
另一方面，任意一个秩为 \(r\) 的矩阵 \(A\)，都可以经过有限次初等变换，变成上面考虑的左上角为单位阵的简单形式。即
\[A = P
\left [
\begin{matrix}
I_r \\
O \\
\end{matrix}
\right ]
\left [
\begin{matrix}
I_r & O\\
\end{matrix}
\right ]
Q
\\
\therefore
B = P \left [
\begin{matrix}
I_r \\
O \\
\end{matrix}
\right ] \\
C = \left [
\begin{matrix}
I_r & O\\
\end{matrix}
\right ]
Q
\]
上述 \(B,C\) 满足要求，其实 \(B,C\) 的取值有很多种。对于证明本题，已经完成了。但在实际应用中，如何确定 \(P,Q\)? 有没有办法直接求解 \(B,C\)? 其实是有的。把 \(A=BC\) 写成：
\[\left [
\begin{matrix}
\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\\
\end{matrix}
\right ]
=
\left [
\begin{matrix}
\beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_r\\
\end{matrix}
\right ]
\left [
\begin{matrix}
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\
\vdots & \cdots & \cdots & \vdots\\
c_{r1} & c_{r2} & \cdots & c_{rn}\\
\end{matrix}
\right ]
\]
可以看出，\(A\) 的其中一列，是 \(B\) 的各列的线性组合，因此可以选 \(B\) 为 \(A\) 中的一组极大无关线性组，然后用 \(B\) 的各列表示出 \(A\) 的各列，组合的系数就构成了 \(C\)。
