矩阵的秩的不等式
\[R(A+B) \le R(A)+R(B)
\]
\[R(AB) \le min(R(A), R(B))
\]
\[A_{z\times n} B_{n\times t} = O \rightarrow R(A)+R(B) \le n
\]
\[R(A_{z\times n} B_{n\times t}) \ge R(A) + R(B) - n
\]
\[M = \left \{
\begin{matrix}
A & C \\
O & B
\end{matrix}
\right \}
\rightarrow R(M) \ge R(A) + R(B)
\]
题目1
若 \(A\) 是可逆矩阵，证明 \(R(AB)=R(B)\)
题目1证明
\[R(AB) \le R(B) \\
R(B) = R(A^{-1}(AB)) \le R(AB) \\
\therefore R(AB) = R(B)
\]
题目2
\(A\) 满足 \(A=A^2\)，证明：\(R(A)+R(I-A) = n\)
题目2证明
\[R(A) + R(I-A) \ge R(A+(I-A)) = R(I) = n \\
R(A(I-A)) = R(A-A^2) = 0 \rightarrow R(A) + R(I-A) \le n \\
\therefore R(A) + R(I-A）= n
\]
