题目
设 \(A\) 是 \(s\times n\) 矩阵，\(b\) 是 \(s\) 维列向量。证明：
- \(Rank(A) = Rank(A^HA)\)
- 线性方程组 \(A^HAx = A^Hb\) 恒有解
其中 \(A^H\) 为 \(A\) 的共轭转置矩阵
证明
- 证明 \(Ax= 0\) 和 \(A^HA x=0\) 同解即可。因为对于 \(Ax=0, A\in R^(s\times n)\)，如果矩阵\(A\)秩为 \(r\)，则基础解系的向量个数为 \(n-r\)。反之，如果基础解系的向量个数相同，则 \(Rank(A)\) 相同。上面两个等式的解系分别记为 \(S_0, S_1\)。
(1) 证 \(x \in S_0 \rightarrow x\in S_1\)
\[\because x \in S_0, it's Ax = 0, \therefore A^HAx = A^H(Ax) = 0
\]
(2) 证 \(x \in S_1 \rightarrow x \in S_0\)
\[ \because x \in S_1, \ it's\ A^H Ax = 0, \\
\therefore x^H (A^H A x) = 0 \\
x^H(A^H A x) = (Ax)^H (Ax) = 0 \\
\therefore Ax = 0
\]
- 证明 \(Rank(A^H A) = Rank(A^H A, A^H b)\) 即可。通过证明 \(Rank(A^H A) \le Rank(A^H A, A^H b)\) 和 \(Rank(A^H A) \ge Rank(A^H A, A^H b)\) 证明。
(1) 证 \(Rank(A^H A) \le Rank(A^H A, A^H b)\)
因为不等式右面是左面的增广矩阵，所以上面不等式成立。
(2) 证 \(Rank(A^H A) \ge Rank(A^H A, A^H b)\)
\[Rank(A^H A) = Rank(A)\\
Rank(A^H A, A^H b) = Rank(A^H( A, b)) \le Rank(A^H) = Rank(A) \\
\]
证毕。
