题目
计算下面 \(n\times n\) 矩阵打\(k\)次幂( \(k<n\) ):
\[A =
\left \{
\begin{matrix}
a & 1 & & \cdots & 0\\
& a & 1& \cdots & 0\\
& & \ddots&\ddots &\vdots \\
& & &\ddots & 1\\
& & && a
\end{matrix}
\right\} \tag{2}
\]
即 \(A\) 的主对角线全为 \(a\) ,主对角线之上一列全为 \(1\),其余元素全为 \(0\).
解答
主对角线全为 \(0\) ,之上一斜列全为 \(1\) 的矩阵有个很好的性质,就是每多一次幂,所有 \(1\) 元素右上角移动一层.比如
\[A = \left \{
\begin{matrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0\\
\end{matrix}
\right \}
\\
A^2 = \left \{
\begin{matrix}
0&0&1\\
0&0&0\\
9&0&0\\
\end{matrix}
\right \}
\]
回到原题:
\[A = aI + N \\
A^k = (aI + N)^k = (aI)^k + C_k^1(aI)^{k-1}N + \cdots + C_k^kN^k \\
A^k = a^k + C_k^1a^{k-1}N + \cdots + C_n^kN^k \\
\]
后面展开成矩阵太难打了,其实是一个对角线为 \(a^k\) 上面最后一个式子每项都是一个矩阵一个斜线元素(该斜线上所有元素相同).
