神经网络为什么要归一化
作者:梁小h 转载自 http://nnetinfo.com/nninfo/showText.jsp?id=37
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1.数值问题。
无容置疑，归一化的确可以避免一些不必要的数值问题。输入变量的数量级未致于会引起数值问题吧，但其实要引起也并不是那么困难。因为tansig的非线性区间大约在[-1.7，1.7]。意味着要使神经元有效，tansig( w1*x1 + w2*x2 +b) 里的 w1*x1 +w2*x2 +b 数量级应该在 1 （1.7所在的数量级）左右。这时输入较大，就意味着权值必须较小，一个较大，一个较小，两者相乘，就引起数值问题了。
假如你的输入是421，你也许认为，这并不是一个太大的数，但因为有效权值大概会在1/421左右，例如0.00243，那么，在matlab里输入 421*0.00243 == 0.421*2.43
可以看到两者不相等了，说明已经引起数值问题了。
2.求解需要
我们建立了神经网络模型后，只要找到的解足够好，我们的网络就能够正确的预测了。在训练前我们将数据归一化，说明数据归是为了更方便的求解。
那么，究竟给求解带来了什么方便呢？
这个问题不能一概而论，不同的算法，在归一化中得到的好处各不相同。假若有一个很牛B的求解算法，那完全用不着归一化，不过目前大部算法，都比较需要归一化，特别是常用的梯度下降法（或梯度下降的衍生方法），归一化和不归一化，对梯度下降法的影响非常大。不同的算法，对归一化的依赖程序不同，例如列文伯格-马跨特算法（matlab工具箱的trainlm法）对归一化的依赖就没有梯度下降法（matlab里的traingd）那么强烈。
既然不同的算法对归一化有不同的理由，篇幅有限，本文就仅以梯度下降法举例。
重温一下梯度法，梯度法一般初始化一个初始解，然后求梯度，再用新解=旧解-梯度*学习率 的方式来迭代更新解。直到满足终止迭代条件，退出循环。
先看归一化对初始化的好处：
（1）初始化
过初始化的同学会发现，输入数据的范围会影响我们初始化的效果。例如，某个神经元的值为tansig(w1*x1+w2*x2+b)，由于tansig函数只有在[-1.7，1.7]的范围才有较好的非线性，所以w1*x1+w2*x2+b的取值范围就要与 [-1.7，1.7]有交集（实际上需要更细腻的条件），这个神经元才能利用到非线性部分。
我们希望初始化的时候，就把每个神经元初始化成有效的状态，所以，需要知道w1*x1+w2*x2+b的取值范围，也就需要知道输入输出数据的范围。
输入数据的范围对初始化的影响是无法避免的，一般讨论初始化方法时，我们都假设它的范围就是[0，1]或者[-1，1]，这样讨论起来会方便很多。就这样，若果数据已经归一化的话，能给初始化模块带来更简便，清晰的处理思路。
注：matlab工具箱在初始化权值阈值的时候，会考虑数据的范围，所以，即使你的数据没归一化，也不会影响matlab工具箱的初始化
（2）梯度
以输入-隐层-输出这样的三层BP为例，我们知道对于输入-隐层权值的梯度有2e*w*(1-a^2)*x的形式（e是誤差，w是隐层到输出层的权重，a是隐层神经元的值，x是输入），若果输出层的数量级很大，会引起e的数量级很大，同理，w为了将隐层（数量级为1）映身到输出层，w也会很大，再加上x也很大的话，从梯度公式可以看出，三者相乘，梯度就非常大了。这时会给梯度的更新带来数值问题。
（3）学习率
由（2）中，知道梯度非常大，学习率就必须非常小，因此，学习率（学习率初始值）的选择需要参考输入的范围，不如直接将数据归一化，这样学习率就不必再根据数据范围作调整。
隐层到输出层的权值梯度可以写成 2e*a，而输入层到隐层的权值梯度为 2e *w*(1-a^2)*x ，受 x 和 w 的影响，各个梯度的数量级不相同，因此，它们需要的学习率数量级也就不相同。对w1适合的学习率，可能相对于w2来说会太小，若果使用适合w1的学习率，会导致在w2方向上步进非常慢，会消耗非常多的时间，而使用适合w2的学习率，对w1来说又太大，搜索不到适合w1的解。
如果使用固定学习率，而数据没归一化，则后果可想而知。
不过，若果像matlab工具箱一样，使用自适应学习率，学习率的问题会稍稍得到一些缓和。
（4）搜索轨迹
前面已说过，输入范围不同，对应的 w 的有效范围就不同。假设 w1 的范围在 [-10，10]，而w2的范围在[-100，100]，梯度每次都前进1单位，那么在w1方向上每次相当于前进了 1/20，而在w2上只相当于 1/200！某种意义上来说，在w2上前进的步长更小一些,而w1在搜索过程中会比w2“走”得更快。这样会导致，在搜索过程中更偏向于w1的方向。
抛开哪种路线更有效于找到最佳解的问题不谈，两点之间直线距离最短，这种直角路线明显会更耗时间，所以不归一化，时间会明显增加。
从上面的分析总结，除去数值问题的影响，最主要的影响就是，每一维的偏导数计算出来数量级会不一致。下面我们来个试验。
3.小实验
假设我们有两个输入变量，x1范围是[-1，1]，但x2是[-100,100]，输出范围是[-1，1]。x2在输入数据上没有做归一化，怎么修改训练过程，才能让训练结果如同数据归一化了一样呢。
通过上面的讨论，我们知道x2增大了，会使w2的梯度也很大，因此我们在计算w2梯度时，需要把它的梯度除以100.才能得到它的梯度数量级与w1的一致。然后在更新w步长的时候，w1的有效取值范围（1/1）是w2的有效取值范围（1/100）的100倍，因此w2走的时候，应该以1/100的步去走。所以w2的学习率也需要除以100。
这样，若果不考虑数值问题，会和数据作了归一化的结果是一样的。这里就不展示实验的代码了，因为需要涉及整个BP代码。有兴趣研究的同学在自己的编写的代码上动下刀。
这是一个案例分析，说明不考虑数值问题的话，只是影响了这两个地方。假设，x2的输入范围是[100，300]，那肯定不是除以100就可以了，需要更复杂一些的变换，这里不再深入纠结。
为什么要归一化，对于使用梯度下降法训练的三层BP神经网络总结出的就是这些原因了。对于其他的神经网络模型，会有其它的原因，这里就不再作分析。
4.对使用matlab工具箱的建议
关于使用matlab工具箱需要注意的两点
- Matlab2012b已经会自动将输入数据归一化，所以不必再自己去做数据的预处理，直接用原始数据建立网络就可以。
- 但输出需要做归一化，因为工具箱计算误差的时候，使用的是原始数据的误差，因此误差数量级可能很大，这样一来梯度就很大了，在学习率还没来得及自适应减小的时候，梯度就一下子把原来初始化好的权重给吞掉了，使网络的权重掉到一个离最优解非常远的地方。所以使用matlab神经网络工具箱，而又要用梯度下降法的话，输出一定要做归一化。
但若果用默认的trainlm法，而不是梯度下降法 traingd的话，那影响不会像 traingd这么严重，我们可以看到 trainlm(列文伯格-马跨特法) 对方向 h 的计算公式是：
由于JJ和Jf的数量级不会差太多，而且由于有u的调整，最终会得到一个适当的h。
3.使用matlab2012b（或以上）工具箱得到的网络权值，是面向作了归一化后的数据的。所以使用时，需要先对数据进行归一化，再将归一化后的输入数据放到网络中计算网络输出，再将输出反归一化，才是真正的预测结果。如果想把归一化过程揉合到网络的权值的话，请参考文章：<提取对应原始数据的权重和阈值>
5.个人见解
下面是网友关于为什么要归一化的一些回答（欢迎补充）：
1.避免数值问题。
2.使网络快速的收敛。
3.样本数据的评价标准不一样，需要对其量纲化，统一评价标准
4.bp中常采用sigmoid函数作为转移函数，归一化能够防止净输入绝对值过大引起的神经元输出饱和现象 。
5.保证输出数据中数值小的不被吞食 。
事实上本文的研究大部分都是借鉴了网友的见解，基于这些观点进一步探讨所得，但对部分观点，本人略有不同看法：
（1）使网络快速的收敛：赞同。
（2）避免数值问题：赞同。
（3）统一量纲：本人认为这从属于业务层，与网络的训练无关。
（4）避免神经元饱和：与权值阈值相乘后，才是sigmoid的输入值，初始化得好的话，并不会饱和输出。若果使用“把权值和阈值随机初始化为[-1，1]之间的值”这种初始化方法，那不归一化就会引起神经元输出饱和现象。
（5）大数吞小数：若果我们找到适合的权值，是不会吞掉的，例如x1=10000,x2=1, 而w1=0.0001,w2=1，那么w1*x1是不会吞掉w2*x1的。
后语
本文在很多细节之处，都没有作深入的讨论，一来展开这些讨论会让文章非常冗赘，失去主题。二来（也是最主要的原因），对归一化作用的研究，只能让我们更清晰归一化的好处，减少我们对归一化的疑惑，并不能促进我们更好的改进网络效果。所以本文，都仅从大方面，不十分严谨的提及归一化在训练过程各方面的好处。
感谢大家的阅读。
