可对角化等价于极小多项式为互不相同一次式的乘积

下面的定理是人们熟知的.

$n$阶矩阵$A$可对角化等价于$A$的极小多项式$p_A$互不相同一次式的乘积,下面给出一个很简单的证明.

 

若$A$可对角化，设$A$的特征多项式为$(x-c_1)^{k_1}\cdots(x-c_l)^{k_l}$.故$A$相似于$B = \begin{pmatrix}  c_1I_{k_1}  & \cdots & \cdots  \\  \cdots   　 & \cdots & \cdots  \\ \cdots      & \cdots   & c_lI_{k_l}  \end{pmatrix}$.从而对于多项式$f \in \mathbb{K}[x],f(B) = \begin{pmatrix}  f(c_1)I_{k_1}  & \cdots & \cdots \\ \cdots  　 & \cdots & \cdots \\ \cdots    & \cdots   & f(c_l)I_{k_l}  \end{pmatrix} $.于是显然最小多项式为$(x-c_1)\cdots(x-c_l)$.

 

另一方面,若矩阵对应的线性变换$T$的最小多项式为$(x-c_1)\cdots(x-c_l)$,故$A$的全体特征值为$\{c_1,\cdots,c_l\}$,于是全体特征子空间为$\mathrm{Ker}(T-c_i I)$.于是,可对角化等价于$\displaystyle \sum_{i=1}^l \dim \mathrm{Ker}(T-c_i I) = n$.而已知的是$(T-c_1 I)\cdots (T-c_lI)=0$.由下面的不等式,这个命题将显然.

　　对线性变换$T_1,\cdots,T_k$有：

　　\[  \dim \mathrm{Ker}(T_1\cdots T_k) \le \sum_{i=1}^k \dim \mathrm{Ker}(T_i) \]

而这个不等式其实只需证$k=2$的情况，再用$k-1$次$k=2$的情形即可.而$k=2$的证明也十分容易.它等价于Sylvester不等式：$\mathrm{r}(AB) \ge \mathrm{r}(A) +\mathrm{r}(B) - n$.当然也可以直接证明.此处略去.