问题2017S03

问题：设$A_1,\cdots,A_n \in M_n(\mathbb{K}),g(x) \in \mathbb{K}[x],$使得$g(A_1),\cdots,g(A_n)$都是非异阵.证明:存在$h(x) \in \mathbb{K}[x]$,使得$g(A_i)^{-1} = h(A_i)$对所有的$1 \le i \le m$都成立.

 

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证明：

首先我们说明：对于可逆矩阵$X \in M_n(\mathbb{K})$,存在一个常数项非零的多项式$P(x) \in \mathbb{K}[x]$使得$P(X) = 0.$

(利用Hamilton-Cayley定理此命题显然,下面避开这个定理说明这个问题)

事实上,由于$X^{n^2},X^{n^2-1},\cdots,X,I$在$K$中线性相关($n$阶矩阵构成的线性空间的维数为$n^2$),从而存在不全为0的常数$a_{n^2},\cdots,a_1,a_0$使得$a_{n^2}X^{n^2}+\cdots + a_1X + a_0 I = 0$.设$k$为$a_k \ne 0$的最小下标,因此$X^k(a_{n^2}X^{n^2-k} + \cdots +a_k) = 0$,由于$X$非异,从而$a_{n^2}X^{n^2-k} + \cdots +a_k = 0$.于是命题得证.下面回到原命题.

由上述命题知,存在常数项非$0$的多项式$f_1(x),\cdots,f_m(x)$使得$f_1(g(A_1)) = 0,\cdots,f_m(g(A_m)) = 0$.令$F(x) = f_1(x)f_2(x) \cdots f_m(x)$,
从而对于任意$i,F(g(A_i)) = 0$.设$F(x) = a_k x^k + a_{k-1}x^{k-1} + \cdots a_1 x + a_0 (a_0 \ne 0)$,于是$F(g(A_i)) = a_k g(A_i)^k + a_{k-1}g(A_i)^{k-1} + \cdots a_1 g(A_i) + a_0I = 0 $,从而
\[ a_k g(A_i)^{k-1} + a_{k-1}g(A_i)^{k-2} + \cdots + a_1 = -a_0(g(A_i))^{-1} (1 \le i \le m) \]
于是,令$\displaystyle h(x) = -\frac{F(g(x))-a_0}{a_0g(x)}$满足条件.