线性空间的同构理论

以下内容来自上学期我的高等代数学习心得

下面简单整理有关线性空间同构的性质与其相关结论和定理.下面的两个定理是讨论各种问题的基础(注意均未要求维数有限)

定理1(同构的万有性质)
设$V_1$和$V_2$同构，$\varphi$是同构映射，则对于任意向量空间$W$，对任意$\sigma \in L(V_1,W)$,存在唯一的$\sigma' \in L(V_2,W)$,使得$\sigma = \sigma' \circ \varphi$

定理2(商空间的万有性质)
设$S \subset V$是向量空间$V$的子空间,$\pi_S$是$V \to V/S$的自然同态.对于向量空间$W$,若$\tau \in L(V,W)$满足$S \subset \ker(\tau)$,则存在唯一的$\tau' \in L(V/S,W)$，使得$\tau = \pi_S \circ \tau'$

下面的对应原理也相当重要
定理3(对应原理)
设$S \subset V$是向量空间$V$的子空间,则在自然同态下，$V$的所有包含$S$的向量空间与$V/S$的所有子空间建立了一一对应

由此可推出下面的三个同构定理

定理4(第一同构定理)
设$V,W$是两个向量空间,$\sigma \in L(V,W)$是线性映射.则
\[ V/\text{Ker}(\sigma) \cong \text{Im}(\sigma) \]

定理5(第二同构定理)
设$S,T \subset V$是向量空间$V$的两个子空间，则
\[ (S+T)/S \cong S/(S \cap T) \]

定理6(第三同构定理)
设$S \subset T \subset V$均为向量空间，则
\[ \frac{V/S}{T/S} \cong V/T \]

另外，还有
命题1
设$V = V_1 \oplus V_2,S = S_1 \oplus S_2$均为向量空间，则
\[ \frac VS = \frac{V_1 \oplus V_2}{S_1 \oplus S_2} \cong \frac{V_1}{S_1} \boxplus \frac{V_2}{S_2} \]

下面的定理与对偶空间相关

定理7

设$V$是向量空间，则$\dim(V) \le \dim(V^*)$.等号成立当且仅当$V$是有限维.

定理8
设$V$是向量空间，对$\alpha \in V$,定义$\overline {\alpha} \in V^{**}$，满足$\overline{\alpha}(f) = f(\alpha)$.则映射$\tau:V \to V^{**}:\alpha \mapsto \overline{\alpha}$是单同态。且当$V$是有限维的时候，$\tau$是同构映射

命题2
$\tau(\text{span}(M)) = M^{00}$

命题3
$(S+T)^0 = S^0 \cap T^0 , (S \cap T)^0 = S^0 + T^0$

命题4

设$V = S \oplus T$均为向量空间，则
\[ T^* \cong S^0 \]
从而，当$V$有限维时，$\dim S + \dim S^0 = \dim V $

命题5

设$V = S \oplus T$均为向量空间，则
\[ (S \oplus T)^* = S^0 \oplus T^0 \]

下面几个命题与转置映射有关

定理9
设$V,W$是向量空间,$\tau \in L(V,W)$是线性映射，$\tau^t \in L(W^*,V^*)$是转置映射，$(\tau^t)^t \in L(V^{**},W^{**})$是转置映射的转置映射，则
\[ (\tau^t)^t(\overline{\alpha}) = \overline{\tau \alpha} \]

定理10
设$V,W$是向量空间，$\tau \in L(V,W)$，则
\[ \ker(\tau^t) = \text{Im}(\tau)^0 \qquad \text{Im}(\tau^t) = \ker(\tau)^0 \]