问题2017S01

问题：设$A$是$n$阶对合阵,即$A^2 = I_n$.

证明$n - \text{tr}(A)$为偶数,并且$\text{tr}(A) = n$当且仅当$A = I_n$

 

---

证明1：首先我们利用特征值给出一个简单的证明.

　　由于对合矩阵的特征值一定为1或者-1,而$\text{tr}(A)$为所有特征值之和,从而$n-\text{tr}(A) \equiv 2n (\text{mod}2)$,从而$n - \text{tr}(A)$为偶数.

　　而当$\text{tr}(A) = n$时,所有特征值均为1.从而没有$-1$这个特征值,于是$A+I$可逆.于是由于$(A+I)(A-I) = 0\Rightarrow A - I = 0$，从而$A=I$,而当$A=I$时显然$\text{tr}(A) = n$

 

下面不利用特征值给出一个证明：

证明2：
我们知道相似的矩阵具有相同的迹,因此我们只需要找一个与$A$相似的矩阵,使得我们容易讨论$A$的迹,那么整个问题就水落石出了.而我们知道相似矩阵就是同一个线性变换在不同基下的矩阵表示,因此,我们的问题转化为对于一个对合变换$T$找一组基,使得$T$在这组基下的矩阵表示尽量简单.下面给出完整的证明.

首先我们有如下熟知的引理
引理：
设$V$是一个$n$维线性空间,$T$是$V$上的一个对合变换.则
\[ V = \text{Ker}(T-I) \oplus \text{Ker}(T+I) \]
其中,$I$代表空间$V$上的恒同变换.

引理的证明放在最后.下面回到原命题

设$V$是一个任意$n$维向量空间,任取$V$的一组基,考虑线性变换$T$,使得$T$在这组基下的矩阵表示为$A$.

由引理,取$\text{Ker}(T-I)$的一组基$\{\alpha_1,\cdots,\alpha_k\}$,$\text{Ker}(T+I)$的一组基$\{\beta_1,\cdots,\beta_{n-k}\}$,从而它们构成全空间一组基.
而由于$\alpha_i \in \text{Ker}(T-I) \Longrightarrow (T-I)\alpha_i = 0 \Longrightarrow T\alpha_i = \alpha_i$,同理$T \beta_i = -\beta_i$.

从而$T$在这组基下的矩阵表示为
\[B = \begin{pmatrix}  I_k & 0 \\ 0 & -I_{n-k} \end{pmatrix} \]
于是由于$A \sim B \Longrightarrow \text{tr} (A) = \text{tr} (B) = k - (n-k) = -n + 2k$
从而$n- \text{tr}(A) = 2(n-k) $为偶数.因此前一半命题得证.

下面考虑后一半命题,当$\text{tr}(A) = n$当且仅当$-n + 2k = n \Longrightarrow k=n$,于是$\text{Ker} (T-I) = V$,这时$T$为恒等变换，故$A = I_n$

最后给出引理的证明；

引理的证明：

我们先证明$\text{Ker}(T-I) \cap \text{Ker}(T+I) = \{ 0 \}$,事实上,设$\alpha \in \text{Ker}(T-I),\alpha \in \text{Ker}(T+I) \Rightarrow (T-I)\alpha = 0,(T+I)\alpha = 0 \Rightarrow 2I\alpha = 0 \Rightarrow 2 \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 0$

再证明$\text{Ker}(T-I) + \text{Ker}(T+I) = V$, 事实上,对于每个$\alpha \in V$,我们有$\alpha = \dfrac 12\left( (T+I)\alpha - (T-I)\alpha \right)$, 而$\dfrac 12 (T+I)\alpha \in \text{Ker}(T-I),\dfrac 12 (T-I)\alpha \in \text{Ker}(T+I)$.从而$\alpha \in \text{Ker}(T-I) + \text{Ker}(T+I)$.这样就证明了引理

注：
事实上，在引理的证明中,我们承认了$2\alpha = 0 \Longrightarrow \alpha = 0$,这对于数域都是成立的.事实上,只要域的特征不为$2$,该结论都对.