最大公约数和最小公倍数

一、最大公约数

　　正整数a与b的最大公约数是指a与b的所有公约数中最大的那个公约数，例如4和6的最大公约数为2，

3和9的最大公约数为3。一般用gcd(a,b)来表示a和b的最大公约数，而求解最大公约数常用的是欧几里得

算法（即辗转相除算法）。

　　欧几里德算法基于下面这个定理：

　　设a、b均为正整数，则gcd(a,b)=gcd(b,a%b)；

　　证明：设a=kb+r，其中k和r分别为a除以b得到德商和余数。

　　则有r=a-kb成立。设d为a和b的一个公约数，那么由r=a-kb,

　　得d也是b和r得一个公约数。

　　又由r=a%b，得d为b和a%b的一个公约数。

　　因此d即是a和b的公约数，又是b和a%b的公约数。

　　由d的任意性可以得出：a和b的公约数都是b和a%b的公约数。

　　由a=kb+r，同理可证b和a%b的公约数都是a和b的公约数。

　　因此a和b的公约数与b和a%b的公约数全部相等，故其最大公约数也相等，即有gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

 

由以上定理可以发现，如果a<b，那么定理的结果就是将a和b交换；如果a>b，那么通过这个定理总可以

将这个数据规模减小，并且减小的非常快（因此时间复杂度小）。但是要得到结果还需要一个东西：递归

边界，即数据规模减小到什么程度使得可以算出结果。很简单，众所周知：0和任意一个整数a的最大公约

数都是a，这个结论可以当作递归边界。由此很容易想到将其写成递归形式，因为递归的两个关键已经得到：

　　1、递归式：gcd(a，b)=gcd(b，a%b);

　　2、递归边界：gcd(a，0）=a。

于是可以得到下面的求解最大公约数的代码：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return 0;
    else
        return gcd(a,a%b);
}

更简洁的写法是：

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(a,a%b);
}

二、最小公倍数

　　正整数a与b的最小公倍数是指a与b的所有公倍数中最小的那个公倍数，例如4和6的最小公倍数为12，3和9的最小

公倍数是9。一般用lcm(a,b)来表示a和b的最小公倍数。

　　最小公倍数的求解在最大公约数的基础上进行。当得到a和b的最大公约数d之后，可以马上得到a和b的最小公倍数

是ab/d。由于实际计算中ab可能会溢出，因此更恰当的写法是a/db。