line search中的重要定理 - 梯度与方向的点积为零
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对精确的line search(线搜索),有一个重要的定理:
∇f(xk+αkdk)Tdk=0
这个定理表明,当前点在dk方向上移动到的那一点(xk+αkdk)处的梯度,与当前点的搜索方向dk的点积为零。
其中,αk是称之为“步长”的一个实数,它是通过line search算法求出来的。
为什么会有这样的结论?我们来看看。
对每一个line search过程来说,搜索方向dk已经已经是确定的了(在最优化算法中,如何找出一个合适的dk不是line search干的事情)。所以,在一个确定的dk上,要找到一个合适的αk,使得ϕ(α)=f(xk+αdk)这个函数满足f(xk+αkdk)<f(xk),这就是line search的目的。说白了,就是要找到αk使ϕ(α)的函数函数值变小。
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但是,要小到什么程度呢?假设小到有可能的“最小”,即:
ϕ(αk)=f(xk+αkdk)=minα>0f(xk+αdk)=minα>0ϕ(α)
那么,我们称这样的line search为“精确的line search”——你看,这名字好贴切:我们精确地找到了函数值最小的那个点。
既然xk+αkdk是函数值最小的那个点,那么,在该点处的一阶导数(即梯度)为零,所以我们对上式求导(α是自变量,xk和dk为常量):
ϕ′(αk)=[f(xk+αkdk)]′⋅(0+1⋅dk)=[f(xk+αkdk)]′dk=∇f(xk+αkdk)Tdk=0
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这就是我们前面说的定理了。