流行的骰子赌博策略
有种流行的骰子赌博策略:假设你揣着s元赌本进入赌场,打算每次下注一元,重复的赌骰子大小,直到成功赢到w元或者把s元全部输光为止。你成功的概率有多大?
假设赌博过程中某时点你有n元,则从此时成功赢到w元概率为p(n),输掉s元概率为1-p(n)。由于下次有均等的机会输赢1元,则有(1)p(n)=(p(n-1)+p(n+1))/2;(2)p(0)=0;(3)p(s+w)=1.
由(1):p(n)=2p(n-1)-p(n-2), (4)
递推方程(4)的特征方程为:x^2-2x+1=0, 特征解为x1=x2=1, 为重根,由北大《离散数学教程》P357定理22.5(谢谢江师弟),通解为:
p(n)=c1+c2n, (5)
把(2),(3)代入(5),得:
c1=0, c1+(s+w)c2=1,(6)
所以c1=0,c2=1/(s+w), (7)
通解为:p(n)=n/(s+w), 所以当赌本为s元时你成功的概率为p(s)=s/(s+w)
除了上面的笨办法,江云还想出一个巧妙的解法:
因为每轮输赢概率均为50%,可知整个博弈是公平的。于是有总的预期收益为0,所以p(-w)+(1-p)s=0,解得:p=s/(s+w).是不是看起来清爽多了? :)
posted on 2011-09-01 22:11 薛定谔的旺财(刘杨) 阅读(693) 评论(0) 编辑 收藏 举报
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