流行的骰子赌博策略

有种流行的骰子赌博策略：假设你揣着s元赌本进入赌场，打算每次下注一元，重复的赌骰子大小，直到成功赢到w元或者把s元全部输光为止。你成功的概率有多大？

假设赌博过程中某时点你有n元，则从此时成功赢到w元概率为p(n)，输掉s元概率为1-p(n)。由于下次有均等的机会输赢1元，则有(1)p(n)=(p(n-1)+p(n+1))/2;(2)p(0)=0;(3)p(s+w)=1.

由（1)：p(n)=2p(n-1)-p(n-2), (4)

递推方程（4）的特征方程为：x^2-2x+1=0, 特征解为x1=x2=1, 为重根，由北大《离散数学教程》P357定理22.5(谢谢江师弟)，通解为：

p(n)=c1+c2n, (5)

把（2），（3）代入（5)，得：

c1=0, c1+(s+w)c2=1,(6)

所以c1=0,c2=1/(s+w), (7)

通解为：p(n)=n/(s+w), 所以当赌本为s元时你成功的概率为p(s)=s/(s+w)

除了上面的笨办法，江云还想出一个巧妙的解法：

因为每轮输赢概率均为50%，可知整个博弈是公平的。于是有总的预期收益为0，所以p(-w)+(1-p)s=0,解得：p=s/(s+w).是不是看起来清爽多了？ ：）