二枪手决斗均衡

二枪手各有一发子弹，逐渐走近，选择最佳时机开枪射击。

假设二枪手在距离d时射中对方的概率分别为f1(d) 和 f2(d)，由最大距离D彼此走近，此时f1(D)=f2(D)=0; 当二人接触时，f1(0)=f2(0)=1。则D>=d>=0, 二人胜率0<=y1,y2<=1。

把距离D分成N段，D=d0,d1,...,dN=0，易见：f1(dN)=f2(dN)=1。在距离di时，1先开枪,1胜率为f1(di), 2先开枪，1胜率为1-f2(di)。考虑dN：1，2先开枪1胜率分别为f1(dN）=1 和1-f2(dN)＝0 所以1 （实为双方）最优策略是先开枪。

考虑：d(N-1), 1，2先开枪1胜率分别为 f1(d(N-1)）和 1-f2(d(N-1))。 对1，如果f1(d(N-1)）>=1-f2(d(N-1)),则应先开枪；对2，若f2(d(N-1)）>=1-f1(d(N-1))，则应先开枪; 易见二者等价，均为f1(d(N-1))+f2(d(N-1)）>=1
继续增加d，直到某点dk，此时f1(d(N-1))+f2(d(N-1)）=1，此时对1和2来说，是否先开枪不重要；而当距离继续增加是，不开枪是较优策略。于是我们有对1和2，当d0-dk-1时最优策略是不开枪；dk-dN最优策略是开枪。

所以得到，无论二者枪法如何，都会在一个特定距离（dk）同时开枪！

 

本解假定双方对彼此实力有清晰的了解，如果任何一人（例如1）高估了任何一方的实力，则f＝f1(d)+f2(d)会比实际（也是另一方分析结果）为高，因此与y=1交点要向右偏移，也就是会晚开枪；反之同理。