[分析力学]解题思路 - 最小作用量原理

更新：10 JAN 2017

泛函极值问题

变分法

泛函 = 函数的函数：

\[I[y] = \int_{x_0}^{x_1} F(y, y', ..., x)dx \]

设\(y=f(x)\)是一个函数，\(x\)是自变量，\(y\)是因变量。对泛函求变分，自变量的变分恒为零\(\delta x = 0\)，因变量的变分为任意\(\delta y\)。

\[\delta I[y] = \int_{x_0}^{x_1} \left(\frac{\partial F}{\partial y}\delta y + \frac{\partial F}{\partial y'}\delta y'+...\right)dx \]

通常的物理问题中变分和微分可以交换，则上式中\(\delta y' = \frac{d}{dx}\delta y\)，换成\(\delta y\)的形式。通过乘法求导法则将\(\delta y\)提出。这里假设\(x_0\)、\(x_1\)是固定点，否则也需要求变分。

泛函取极值的必要条件是\(\delta I[y] = 0\)。确定极大值、极小值需要求二阶变分。

若存在约束条件，将约束条件变分后以拉格朗日乘子带入方程，按照对因变量的变分合并同类项。

最终可以求出使泛函取极值的函数\(y=f(x)\)。对于有约束条件的需要把乘子\(\lambda\)带入到约束方程中求出来。

哈密顿原理

理想完整有势系统, 在所有符合给定界边条件\(t_0, q_k(t_0)\)和\(t_1, q_k(t_1) (k = 1,2,...,f)\), 且符合约束的轨道中，实际轨道作⽤量取极值。其中作⽤量定义为

\[S[q] = \int_{t_0}^{t_1} L(q,\dot q,t)dt \]

此即哈密顿作用量

莫培督-拉格朗日原理

能量相同的不同轨道通过空间所需的时间不同，因此作用量变分时，端点时间不能固定，这是莫培督原理与哈密顿原理的区别。

\[S = \sum_{k=1}^{f}\int_{q_{k_0}}^{q_{k_1}}p_kdq_k \]

此即莫培督作用量。

瑞利-里兹方法，近似解运动方程

思想：使用幂级数逼近精确解，

\[x(t) = \sum_{k=1}^{n}a_kt^k \]

现需要确定系数\(a_k\)，一是满足边界条件/约束方程，二是使作用量取极值。

使作用量取极值，等价于用系数表示的作用量（求出积分，最终只包含独立的\(a_k\)系数）对各个独立系数的偏导数分别为零。