[分析力学]解题思路 - 拉格朗日方程
更新：9 JAN 2017
（第二类）拉格朗日方程
动能拉格朗日方程
理想、完整约束下，系统的动力学普遍方程：
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_k}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k
\]
\(k\)走遍所有的广义坐标，\(T\)为动能，\(q_k\)为广义坐标，\(Q_k\)为广义力。
理想大致指接触、连接绝对光滑或绝对粗糙，完整指约束不显含时间。更详细的说明参看[分析力学]解题思路 - 虚功原理与达朗贝尔方程。
拉格朗日方程为标量方程，且只包含坐标对时间的一阶导数。
注：第一类拉格朗日方程即未使用广义坐标的拉格朗日方程，使用起来很不方便。
解题思路
1.封闭体系（无外力）
\(Q_k = 0\)，首先确定体系自由度，找广义坐标/独立坐标，求动能\(T(q,\dot q, t)\)表达式、拉格朗日方程中对动能的两个偏导数。得到与自由度数目相同的微分方程。
2.理想非完整线性约束
将约束解除，用拉格朗日乘子加入广义力一方参与方程。
动势拉格朗日方程
定义拉格朗日量
\[L=T-V
\]
理想、完整约束下，系统的动力学普遍方程：
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = Q_k
\]
\(k\)走遍所有的广义坐标，\(q_k\)为广义坐标，\(Q_k\)为非保守广义力。
解题思路
1.保守体系（有势能）
即存在保守力\(\vec F=-\nabla V\)作为外力。仍然先确定自由度和广义坐标，求出动能、势能的表达式得到拉格朗日量，求微分得到微分方程组。
势能的定义隐含物体的超距作用，与狭义相对论矛盾，因此需要非相对论条件。狭义相对论条件下（运动接近光速）应使用场论。
非保守广义力\(Q_k = 0\)。
2.位力定理
\[\overline{\sum_i\nabla_i V\cdot\vec r_i}=2\overline{T}
\]
特别地, 若系统的势能是位⽮坐标的齐\(k\)次式, 则有
\[k\overline{V}=2\overline{T}
\]
这里平均值是对时间的平均。若动能、势能不随时间变化，则每个时刻成立。
重点问题
1.单摆问题的精确解
旋轮摆严格等时性
