[快速复习]数理方程引论

更新：23 MAY 2016

一、三类基本二维线性方程

双曲方程-波动方程

\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)

抛物方程-热传导方程

\(\dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)

椭圆方程-拉普拉斯方程

\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)

 

二、三类边界问题

第一类边界问题-Dirichlet边界条件

\(u\Big |_S=f_1\)

第二类边界问题-Neumann边界条件

\(\dfrac{\partial u}{\partial n}\Big |_S=f_2\)

第三类边界条件-Robin边界条件

\(\left(\dfrac{\partial u}{\partial n}+\sigma u\right) \Big |_S=f_3\)

齐次即自由项\(f_i\)为0

 

三、基本解法

1. 有限区域

齐次方程+齐次边界条件：分离变量（驻波法）+傅里叶级数以符合初始条件

非齐次方程+齐次边界条件：分解法（非齐次方程&齐次初始条件{特征函数法}+齐次方程&非齐次初始条件）+常数变易法&傅里叶级数解非齐次方程

非齐次方程+非齐次边界条件：分解法（非齐次方程&齐次边界条件&非齐次初始条件+将边界条件化为齐次的函数，可任取）+上面求非齐次方程齐次边界条件的方法

2. 无限区域

1. 波动方程的行波法：

一维：达朗贝尔公式；三维：泊松公式；二维？

2. 积分变换法：

全空间：傅里叶变换

\(\mathscr{F}[f’(t)]=\mathrm{i}\omega\mathscr{F}[f(t)]\)

半空间：拉普拉斯变换 将微分方程变换成代数方程

\(\mathscr{L}[f’(t)]=s\mathscr{L}[f(t)]-f(0)\)

\(\mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^n\mathscr{L}[f(t)]-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f’(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\)

3. 拉普拉斯方程的格林函数法：

格林公式

第一格林公式

\(\iiint\limits_\Omega u\Delta v dV=\iint\limits_\Gamma u \dfrac{\partial v}{\partial n} dS -\iiint\limits_\Omega\nabla u\cdot\nabla vdV\)

第二格林公式

\(\iiint\limits_\Omega (u\Delta v-v\Delta u) dV=\iint\limits_\Gamma (u \dfrac{\partial v}{\partial n}-v \dfrac{\partial u}{\partial n})  dS\)

其中\(u,v\)在\(\Omega+\Gamma\)上具有一阶连续偏导数，在\(\Omega\)内具有连续的所有二阶偏导数。

格林函数的定义

\(G(M,M_0)=\dfrac{1}{4\pi r_{MM_0}}-g\)

这里\(M_0\)是任给的点，\(M\)是空间中的自变量点（考察点），需要找的是其中的\(g\)函数。Dirichlet问题方程的解为

\(u(M_0)=-\iint\limits_\Gamma u\dfrac{\partial G}{\partial n}dS\)

镜像法求\(g\)函数

平面边界：反映

\(M_1\)为\(M_0\)的反映点，

\(g=\dfrac{1}{4\pi r_{MM_1}}\)

球面边界：反演

\(M_1\)为\(M_0\)的反演点

\(g=\dfrac{R}{4\pi \rho_0 r_{MM_1}}\)

其中\(R\)为球半径，\(\rho_0=r_{OM_0}\)

共形映射法

 

 

四、特殊函数

0. \(\Gamma\)函数

1. 贝塞尔方程

方程形式：

\(x^2\dfrac{d^2 y}{dx^2}+x\dfrac{dy}{dx}+(x^2-n^2)=0\)

2. 勒让德方程

方程形式：

\((1-x^2)\dfrac{d^2y}{dx^2}-2x\dfrac{dy}{dx}+n(n+1)y=0\)

 

五、近似解法

1. 差分法

2. 变分法

 

六、非线性偏微分方程