数理方程：波动方程的行波法

更新：17 APR 2016

借鉴常微分方程的思路，先对偏微分方程求通解，再通过边界条件等确定其中的任意函数与系数。然而这种思路只对少数偏微分方程可行。

一维波动方程 | d'Alembert公式

\(\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}\)

进行变量代换，

\(\xi =x+at\)

\(\eta = x-at\)

计算两级偏导数，代入方程得到

\(\dfrac{\partial^2u}{\partial \xi \partial\eta}=0\)

积分得到含有两个任意函数的结果

\(u(\xi,\eta)=f_1(\xi)+f_2(\eta)\)

即

\(u(x,y)=f_1(x+at)+f_2(x-at)\)

此即一维波动方程的通解。

对于一般的初始条件，

\(u|_{t=0}=\varphi(x),\quad –\infty<x<+\infty\)

\(\left.\dfrac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x),\quad –\infty<x<+\infty\)

可以解得

\(u(x,t)=\dfrac{1}{2}[\varphi(x+at)+\varphi(x-at)]+\dfrac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\zeta)d\zeta\)

此即无限长弦自由振动（齐次）的d'Alembert公式。
注意方向相反的行波可能合成驻波：

（图片来源：Wikipedia.org）

【依赖区间】点(x,t)的函数值u(x,t)由x轴上的区间\([x-at,x+at]\)内的初始条件决定，此区间即此点的依赖区间。

【决定区域】x轴上的区间\([x_1,x_2]\)决定在x-t平面内x轴、直线\(x=x_1+at\)、直线\(x=x_2-at\)围成的三角形区域内所有的点(x,t)的值u(x,t)，此区域即此区间的决定区域。

【影响区域】x轴上的区间\([x_1,x_2]\)影响在x-t平面内x轴、直线\(x=x_1-at\)、直线\(x=x_2+at\)围成的区域内所有的点(x,t)的值u(x,t)，此区域即此区间的影响区域。

 

三维波动方程 | Poisson公式

三维波动方程

\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\nabla^2 u\)

对应一般化的初始条件

\(u|_{t=0}=\varphi(\textbf{r})\)

\(\left.\dfrac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(\textbf{r}),\quad –\infty<x<+\infty\)

若体系球对称，即u与\(\theta, \varphi\)无关。方程化为

\(\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\left(\dfrac{\partial^2u}{\partial r^2}+\dfrac{2}{r}\dfrac{\partial u}{\partial r}\right)\)

此时解为

\(u(r,t)=\dfrac{f_1(r+at)+f_2(r-at)}{r}\)

实际上球对称即准一维问题。

一般三维的情况，使用球平均法

取空间中任一点\(M(x,y,z)\)，u在以点M为球心，r为半径的球面\(S_r^M\)上的平均值

\(\bar{u}_M(r,t)=\dfrac{1}{4\pi r^2}\int\int_{S_r^M} u(\xi,\eta,\zeta,t)dS\)

若u为连续的，则u在(M,t)点的值为

\(u(\textbf{M},t)=\lim\limits_{r\rightarrow 0}\bar{u}_M(r,t)=\bar{u}_M(0,t)\)

 

最终的结果是

\(u(\textbf{M},t)=\dfrac{1}{4\pi a}\dfrac{\partial}{\partial t}\iint_{S_{at}^M}\dfrac{\varphi(x’,y’,z’)}{at}dS+\dfrac{1}{4\pi a}\iint_{S_{at}^M}\dfrac{\psi(x’,y’,z’)}{at}dS\)

 

一般二维的情况，使用降维法。