数理方程：常微分方程基础

更新：25 MAR 2016

一阶线性常微分方程

齐次

\(\large y’(x)+p(x)y(x)=0\)

分离        //注意不是“分离变量”，因为y是x的函数

\(\large \dfrac{dy}{y}=-p(x)dx\)

两边积分即可

非齐次

\(\large y’(x)+p(x)y(x)=q(x)\)

积分因子法

\(\large y_h(x)=Cexp[-\int p(x)dx]\)

定义积分因子

\(\large m(x)=exp[\int p(x)dx]\)

注意

\(\large m’(x)=m(x)p(x)\)

因此

\(\large \frac{d}{dx}(m(x)y(x))=m(x)(y’(x)+p(x)y(x))\)
这样可以直接得到

\(\large y(x)=\dfrac{1}{m(x)}\int m(x)q(x)dx\)

常数变易法

从齐次方程的解出发

\(\large y_h(x)=Cexp[-\int p(x)dx]\)

将其中的常数C替换为x的函数C(x)

\(\large y(x)=C(x)exp[-\int p(x)dx]\)

代回原方程

\(\large C’(x)exp[\int p(x)dx]-C(x)p(x)exp[\int p(x)dx]+p(x)C(x)exp[\int p(x)dx]=q(x)\)

消掉了其中两项，

\(\large C’(x)exp[\int p(x)dx]=q(x)\)

积分即可。

 

二阶线性常系数常微分方程

齐次

\(\large y’’(x)+by’(x)+cy(x)=0\)

特征方程法

由于默认方程解为\(y(x)=e^{rx}\)形式，代入得到特征方程

\(\large r^2+br+c=0\)

一元二次方程，\(d=b^2-4c\)

d>0, 根\(r_1 \neq r_2\)

\(\large y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)

d=0, 根\(r_1=r_2\)

\(\large y(x)=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}\)

d<0, 视r为复数即可。利用欧拉公式可以化为实数三角函数式。

非齐次

\(\large y’’(x)+by’(x)+cy(x)=f(x)\)

由于没有一般的解法，只能总结常见的特殊情况

一般思路：按照齐次方程解法解出其基础解系，再找到一个特解相加得到所有通解

1. \(\large f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\)型

注：\(P_m(x)\)指m阶多项式。

设\(y(x)=g(x)e^{\lambda x}\)，代入原方程，

\(\large g’’(x)+(2\lambda +b)g’(x)+(\lambda^2+p\lambda+q)g(x)=P_m(x)\)

讨论：

i. 若\(\lambda\)不是特征方程的根：\(\lambda^2+p\lambda+q\neq 0\)

设\(g(x)=g_m(x)\)为m阶多项式，待定系数求解，特解\(y=g_m(x)e^{\lambda x}\)

ii. 若\(\lambda\)是特征方程的单根：\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)，而\(2\lambda +b\neq 0\)

设\(g(x)=xg_m(x)\)，待定系数求解，特解\(y=xg_m(x)e^{\lambda x}\)

iii. 若\(\lambda\)是特征方程的重根：\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)，且\(2\lambda +b=0\)

设\(g(x)=x^2g_m(x)\)，待定系数求解，特解\(y=x^2g_m(x)e^{\lambda x}\)

2. \(\large f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\cos\omega x\)型

利用欧拉公式合并，\(\lambda'=\lambda +\mathrm{i}\omega\)。用上面方法求特解，取其实部。对于\(\sin\omega x\)，取虚部。

3.\(\large f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\cos\omega x]\)型

利用欧拉公式合并，得到和的形式，拆成两个方程，分别按照上面方法求特解，再将两个特解加即可（必要时再展开成三角函数）。