二叉树常用操作
原文：https://www.cnblogs.com/willwu/p/6007555.html
树的介绍
1. 树的定义
树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
(01) 每个节点有零个或多个子节点；
(02) 没有父节点的节点称为根节点；
(03) 每一个非根节点有且只有一个父节点；
(04) 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。
2. 树的基本术语
若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的"双亲"，子树的根是该结点的"孩子"。有相同双亲的结点互为"兄弟"。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。
结点的度：结点拥有的子树的数目。
叶子：度为零的结点。
分支结点：度不为零的结点。
树的度：树中结点的最大的度。
层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。
树的高度：树中结点的最大层次。
无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。
有序树：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。
森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。
二叉树的介绍
1. 二叉树的定义
二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。
2. 二叉树的性质
二叉树有以下几个性质：TODO(上标和下标)
性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)。
性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)。
性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)。
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
2.1 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)
证明：下面用"数学归纳法"进行证明。
(01) 当i=1时，第i层的节点数目为2{i-1}=2{0}=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
(02) 假设当i>1，第i层的节点数目为2{i-1}。这个是根据(01)推断出来的！
下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为2{i}"即可。
由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2{i-1}=2{i}。
故假设成立，原命题得证！
2.2 性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)
证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用"性质1"可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
20+21+…+2k-1=2k-1
故原命题得证！
2.3 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)
证明：根据"性质2"可知，高度为h的二叉树最多有2{h}–1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。
2.4 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此，得到等式一。
(等式一) n=n0+n1+n2
另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
(等式二) n=n1+2n2+1
由(等式一)和(等式二)计算得到：n0=n2+1。原命题得证！
3. 满二叉树，完全二叉树和二叉查找树
3.1 满二叉树
定义：高度为h，并且由2{h} –1个结点的二叉树，被称为满二叉树。
3.2 完全二叉树
定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。
3.3 二叉查找树
定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
在二叉查找树中：
(01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
(04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。
java实现树bean：
package com.sly.uploadfile.algorithm; /** * Created by fmgao on 2019/7/24. */ public class TreeNode01<T> { T value; TreeNode01<T> leftChild; TreeNode01<T> rightChild; TreeNode01() { } TreeNode01(T value) { this.value = value; } /** * 增加左子节点 * * @param value */ public void addLeft(T value) { TreeNode01<T> leftChild = new TreeNode01<T>(); this.leftChild = leftChild; } /** * 增加右子节点 * * @param value */ public void addRight(T value) { TreeNode01<T> rightChild = new TreeNode01<>(); this.rightChild = rightChild; } @Override public boolean equals(Object obj) { if (!(obj instanceof TreeNode01)) { return false; } return this.value.equals(((TreeNode01<?>) obj).value); } @Override public int hashCode() { return this.value.hashCode(); } @Override public String toString() { return this.value == null ? "" : this.value.toString(); } }
java基本操作：
package com.sly.uploadfile.algorithm; import java.util.ArrayList; import java.util.LinkedList; import java.util.List; import java.util.Queue; /** * Created by fmgao on 2019/7/24. */ public class TreeNodeTools { /** * 判断树种节点个数 * * @param root * @param <T> * @return */ public static <T> int getTreeNum(TreeNode01<T> root) { if (root == null) { return 0; } return getTreeNum(root.leftChild) + getTreeNum(root.rightChild) + 1; } /** * 判断树的深度 * * @param root * @param <T> * @return */ public static <T> int getTreeDepth(TreeNode01<T> root) { if (root == null) { return 0; } int leftDepth = getTreeDepth(root.leftChild) + 1; int rightDepth = getTreeDepth(root.rightChild) + 1; return Math.max(leftDepth, rightDepth); } /** * 前序遍历 * * @param root * @param <T> */ public static <T> void preOrderTravel(TreeNode01<T> root) { if (root == null) { return; } visitNode(root); preOrderTravel(root.leftChild); preOrderTravel(root.rightChild); } /** * 中序遍历 * * @param root * @param <T> */ public static <T> void midOrderTravel(TreeNode01<T> root) { if (root == null) { return; } midOrderTravel(root.leftChild); visitNode(root); midOrderTravel(root.rightChild); } /** * 后续遍历 * * @param root * @param <T> */ public static <T> void backOrderTravel(TreeNode01<T> root) { if (root == null) { return; } backOrderTravel(root.leftChild); backOrderTravel(root.rightChild); visitNode(root); } /** * 访问node节点 * * @param node01 * @param <T> */ public static <T> void visitNode(TreeNode01<T> node01) { System.out.println(node01.value + "\t"); } /** * 分层遍历 * * @param root * @param <T> */ public static <T> void levelTravel(TreeNode01<T> root) { Queue<TreeNode01<T>> q = new LinkedList<TreeNode01<T>>(); q.offer(root); while (!q.isEmpty()) { TreeNode01<T> tmp = q.poll(); visitNode(tmp); if (tmp.leftChild != null) { q.offer(tmp.leftChild); } if (tmp.rightChild != null) { q.offer(tmp.rightChild); } } } /** * 求第K层节点个数 * * @param root * @param k * @param <T> * @return */ public static <T> int getNumForKLevel(TreeNode01<T> root, int k) { if (root == null || k < 1) { return 0; } if (k == 1) { return 1; } int leftNum = getNumForKLevel(root.leftChild, k - 1); int rightNum = getNumForKLevel(root.rightChild, k - 1); return leftNum + rightNum; } /** * 求二叉树种叶子节点的个数 * * @param root * @param <T> * @return */ public static <T> int getLeafNum(TreeNode01<T> root) { if (root == null) { return 0; } if (root.leftChild == null && root.rightChild == null) { return 1; } int leftNum = getLeafNum(root.leftChild); int rightNum = getLeafNum(root.rightChild); return leftNum + rightNum; } /** * 交换根节点的左右子树 * * @param root * @param <T> * @return */ public static <T> TreeNode01<T> exchange(TreeNode01<T> root) { if (root == null) { return null; } TreeNode01<T> left = exchange(root.leftChild); TreeNode01<T> right = exchange(root.rightChild); root.leftChild = right; root.rightChild = left; return root; } /** * 查看node是否是root的节点 * * @param root * @param node * @param <T> * @return */ public static <T> boolean nodeIsChild(TreeNode01<T> root, TreeNode01<T> node) { if (root == null || node == null) { return false; } if (root == node) { return true; } boolean isFind = nodeIsChild(root.leftChild, node); if (!isFind) { isFind = nodeIsChild(root.rightChild, node); } return isFind; } /** * 返回lNode 和 rNode 以root为根节点的公共父节点 * * @param root * @param lNode * @param rNode * @param <T> * @return */ public static <T> TreeNode01<T> findAllFatherNode(TreeNode01<T> root, TreeNode01<T> lNode, TreeNode01<T> rNode) { if (lNode == root || rNode == root) { return root; } if (root == null || lNode == null || rNode == null) { return null; } // 如果lNode是左子树的节点 if (nodeIsChild(root.leftChild, lNode)) { if (nodeIsChild(root.rightChild, rNode)) { return root; } else { return findAllFatherNode(root.leftChild, lNode, rNode); } } else { if (nodeIsChild(root.leftChild, rNode)) { return root; } else { return findAllFatherNode(root.rightChild, lNode, rNode); } } } /** * 根据前序和中序构建二叉树 * * @param pre * @param mid * @param <T> * @return */ public static <T> TreeNode01<T> getTreeFromPreAndMid(List<T> pre, List<T> mid) { if (pre == null || mid == null || pre.size() == 0 || mid.size() == 0) { return null; } if (pre.size() == 1) { return new TreeNode01<T>(pre.get(0)); } TreeNode01<T> root = new TreeNode01<T>(pre.get(0)); // 找出根节点在中序中的位置 int index = 0; while (!mid.get(index++).equals(pre.get(0))) { } // 构建左子树的前序 List<T> preLeft = new ArrayList<T>(index); // 中子树的前序 List<T> midLeft = new ArrayList<T>(index); for (int i = 1; i < index; i++) { preLeft.add(pre.get(i)); } for (int i = 0; i < index - 1; i++) { midLeft.add(mid.get(i)); } // 重建左子树 root.leftChild = getTreeFromPreAndMid(preLeft, midLeft); // 右子树的前序 List<T> preRight = new ArrayList<T>(pre.size() - index - 1); // 右子树的中序 List<T> midRight = new ArrayList<T>(pre.size() - index - 1); for (int i = 0; i <= pre.size() - index - 1; i++) { preRight.add(pre.get(index + i)); } for (int i = 0; i <= pre.size() - index - 1; i++) { midRight.add(mid.get(index + i)); } // 重建→子树 root.rightChild = getTreeFromPreAndMid(preRight, midRight); return root; } public static <T> boolean equals(TreeNode01<T> node1, TreeNode01<T> node2) { if (node1 == null && node2 == null) { return true; } else if (node1 == null || node2 == null) { return false; } boolean isEqual = node1.value.equals(node2.value); boolean isLeftEqual = equals(node1.leftChild, node2.leftChild); boolean isRightEqual = equals(node1.rightChild, node2.rightChild); return isEqual && isLeftEqual && isRightEqual; } }
