蓄水池抽样

题目：要求从N个元素中随机的抽取k个元素，其中N无法确定

解法：首先选择N中的前k个数加入“蓄水池”中，然后从第k+1个数开始，以k/k+i(i=1,2,3...)的概率选择这个数，然后在蓄水池中随机选择一个数，并将其替换，N个元素遍历完毕后，蓄水池中的k个数就是随机选择的。

证明：这里即需要证明任意一个数出现在蓄水池中的概率都是k/(k+i)，假设现在有k+i个元素

任意一个数出现在蓄水池中的概率P=P(原来在，并且也没有被替换掉)+P(原来不在，刚刚被选进蓄水池)

第一项P(原来在，并且也没有被替换掉)=P(原来在)*P(没有被替换)=k/(k+i)   *   (1-P(被替换)) = k/(k+i)  * (1-(k/k+i) *(1/k)) = (k*k)/(k+i)*(k+i)

第二项P(原来不在，刚刚被选进蓄水池)=P(原来不在)*P(刚刚被选进蓄水池)=i/(k+i)  *  k/(k+i) = (i*k)/(k+i)(k+i)

所以总的概率P=k/(k+i)