flywatre - 博客园

2023年4月26日

摘要：定义求解

x^{2} \equiv c (\mod p)

$x^2 \equiv c\quad(\mod p)$ 方程组。若有解则 c 为模 p 意义下的二次剩余。欧拉判别若

c^{\frac{p - 1}{2}} = 1

$c^{\frac{p-1}{2}}=1$ 则是二次剩余，若等于 -1 则不是二次剩余。

c^{\frac{p - 1}{2}} = 1 或 - 1

$c^{\frac{p-1}{2}}=1或-1$ ，考虑把

c

$c$ 平方。阅读全文

posted @ 2023-04-26 21:17 flywatre 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】拓展中国剩余定理

摘要：若干方程组：

{\begin{cases} x \equiv c_{1} (\mod p_{1}) x \equiv c_{2} (\mod p_{2}) \cdot \cdot \cdot x \equiv c_{m} (\mod p_{m}) \end{cases}

$\begin{cases} x\equiv c_1\quad(\mod p_1) \ x\equiv c_2\quad(\mod p_2)\ ···\ x\equiv c_m\quad(\mod p_m) \end{cases}$ 求x但不保证p互质。采用两两方程合并的形式。 $\b 阅读全文

posted @ 2023-04-26 19:00 flywatre 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】拓展欧拉定理

摘要： $$ a^n= \begin{cases} a^{n\mod \varphi(m)} \quad(a \perp m)\ a^n\quad (a \not\perp m,n<m)\ a^{(n \mod \varphi(m))+\varphi(m)} \quad (a\not\perp m,n\ge 阅读全文

posted @ 2023-04-26 17:20 flywatre 阅读(2) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】线性求逆元

摘要：假设我们已经求出了 [1,n-1] 的逆元，现在要求 n 的逆元。令

t = ⌊ \frac{p}{n} ⌋, k = p

$t=\lfloor{\frac{p}{n}}\rfloor,k= p % n$ ，那么：

t \times n + k \equiv 0 (\mod p)

$t\times n+k\equiv 0 (\mod p)$

- t \times n \equiv k (\mod p)

$-t\times n\equiv k (\mod p)$ 令左右同阅读全文

posted @ 2023-04-26 16:56 flywatre 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】杜教筛

摘要：如果我们要求一个积性函数

f (x)

$f(x)$ 的前缀和，可以用杜教筛在

O (n^{\frac{2}{3}})

$O(n^{\frac{2}{3}})$ 的复杂度求出。具体地，构造函数

g (x)

$g(x)$ 和函数

h (x)

$h(x)$ ，使得

h = f * g

$h=f*g$ ，要求的式子是

S (n) = \sum_{i = 1}^{n} f (i)

$S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(i)$ 。开始推式子。阅读全文

posted @ 2023-04-26 16:33 flywatre 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】莫比乌斯反演

摘要：先来了解一下狄利克雷卷积的概念。对于函数

f

$f$ 和

g

$g$ ，我们定义运算

“ * ”

${“*”}$ 为：

F (x) = \sum_{d | n} f (x) \times g (\frac{n}{d})

$F(x)=\sum\limits_{d|n}f(x)\times g(\frac{n}{d})$ 莫比乌斯函数： $$ \mu(x)=\begin{cases} (-1)^k (x的每个质因阅读全文

posted @ 2023-04-26 15:33 flywatre 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑

agc030 vp记录

摘要： T1签到题。 [AGC030B] Tree Burning 高桥湖是周长为

L

$L$ 的一个首尾相接的圆，圆上整点标为

0, 1, 2, . . ., L - 1

$0, 1, 2, ..., L-1$ . 在湖边有

N

$N$ 颗树，分别在距离起点顺时针数

X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}

$X_1, X_2,...,X_n$ 的位置上。保证位置

0

$0$ 没有树。高桥君初始在位置阅读全文

posted @ 2023-04-26 14:21 flywatre 阅读(7) 评论(0) 推荐(0) 编辑

2023年4月25日

【学习笔记】组合数杂项笔记

摘要：

(\binom{n}{m}) = \frac{n}{m} (\binom{n - 1}{m - 1})

$\binom{n}{m} = \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1}$

\to

$\to$ 可以用来消去一些神秘的系数。二项式定理：

(x + y)^{n} = \sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) x^{i} y^{n - i}

$(x+y)^n = \sum \limits_{i=1}^n \binom{n}{i} x^i y^{n-i}$ 帕斯卡三角递推：$\binom{n} 阅读全文

posted @ 2023-04-25 21:58 flywatre 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】NTT与全家桶

摘要： NTT 可用原根的性质模拟单位根。对于

g

$g$ 是

p

$p$ 的原根，如果

n | (p - 1)

${n | (p-1)}$ ，那么

g^{(p - 1) / n}

$g^{(p-1)/n}$ 的阶为

n

$n$ 。也有不用原根的方法。随便找一个非二次剩余

v

$v$ （998244353

\to

$\to$ 3），阶数为

n

$n$ 的单位根为 $v^{(p-1)/ 阅读全文

posted @ 2023-04-25 10:58 flywatre 阅读(23) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】原根

摘要：原根是

N T T

$NTT$ 的前置，想学

N T T

$NTT$ 就得先学求原根。由于作者个人时间原因，原根直接讲结论。只有

2, 4, p^{c}, 2 \times p^{c}

$2,4,p^c,2\times p^c$ 有原根，其中

c

$c$ 为奇质数。

n

$n$ 的原根大概在

n^{0.25}

$n^{0.25}$ 左右，且分布密集。检测

p

$p$ 是否是原根，要看对于所有的 $\phi 阅读全文

posted @ 2023-04-25 09:42 flywatre 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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