【学习笔记】斯特林数

听说第一类斯特林数啥用没有，先咕咕咕。

第二类斯特林数

是将 $n$ 个有标号球 放入 $m$ 个无区别盒子的方案数（盒子不可为空）
递推式:

$$\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix} + m\times \begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}$$

单独成一盒和随便选一个盒子扔进去。

• $m^n=\sum\limits_{i=0}^{m}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\times i! \times \binom{m}{i}$
  考虑组合意义，$m^n$为盒子不同可以有空盒，n个球任意放。
  钦定 $i$ 个盒子非空，从 $m$ 中选 $i$ 个。
  盒子不同要乘 $i!$ 。

推论：$\sum\limits_{i=0}^{n}i^k=\sum\limits_{j=0}^{m}\begin{bmatrix}k\\j\end{bmatrix}\times j!\times \binom{n+1}{j+1}$
考虑把上式代入交换一下求和顺序就行。

• $\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix} = \frac{1}{m!} \sum\limits_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\binom{m}{i}i^n$
  对上式二项式反演。

斯特林反演

咕咕咕