【学习笔记】莫比乌斯反演

先来了解一下狄利克雷卷积的概念。对于函数 $f$ 和 $g$ ，我们定义运算 ${“*”}$ 为：

$$F(x)=\sum\limits_{d|n}f(x)\times g(\frac{n}{d})$$

莫比乌斯函数：

$$\mu(x)=\begin{cases} (-1)^k (x的每个质因数次数为1，k为质因数个数)\\ 0 (x的某个质因数次数大于1)\\ \end{cases}$$

全篇最重要的式子：$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]$，即 $\mu * I= [n=1]$。（证明考虑容斥）

莫比乌斯反演的式子：若 $F(x)=\sum\limits_{d|n}f(d)$，那么 $f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$。可用狄利克雷卷积证明，

欧拉反演：已知欧拉函数有一个著名的式子$\sum\limits_{d|n} \phi(x)= n$，即为 $\phi * I=n$。两边同时乘 $\mu$,得到$\phi = id * \mu$，即 $\phi(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\times \frac{n}{d}$，推出 $\frac{\phi(n)}{n}=\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}$。

基础已经掌握了，来食用点例题，

例一

求：

$$\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}[\gcd(i,j)==1]$$

$[\gcd(x,y)==1]$可以用上面的式子替换为 $\sum\limits_{d|x,d|y}\mu(d)$。
莫比乌斯反演里一个最基础的技巧即是交换求和顺序，我们统计每一个 $\mu(x)$ 有多少个，显然有 $\lfloor{\frac{n}{x}}\rfloor \lfloor{\frac{m}{x}}\rfloor$个。那么答案为 $\sum\limits_{d}^{n} \mu(d) \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor \lfloor{\frac{m}{d}}\rfloor$。

你已经会莫比乌斯反演了，现在去做做莫比乌斯反演基础练习题-幽灵乐团吧！
常用的两个技巧：交换求和号，整体代换。