【学习笔记】组合数杂项笔记

$\binom{n}{m} = \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1}$ $\to$ 可以用来消去一些神秘的系数。
二项式定理： $(x+y)^n = \sum \limits_{i=1}^n \binom{n}{i} x^i y^{n-i}$
帕斯卡三角递推： $\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m} + \binom{n-1}{m-1}$
平行求和技巧： $\sum\limits_{i=0}^{n} \binom{r+i}{i} = \binom{r+n+1}{n}$ 。
证明： $\binom{r}{0}+\binom{r+1}{1}=\binom{r+1}{0}+\binom{r+1}{1}=\binom{r+2}{1}$ ，数学归纳法得到: $\binom{r+i}{i-1}+\binom{r+i}{i}=\binom{r+i+1}{i}$ （可从组合意义理解为钦定其中一个选没选），项前后相加得到答案。
上指标求和： $\sum\limits_{i=0}^{n} \binom{i}{m}=\binom{n+1}{m+1}$
证明： $\binom{m+1}{m}+\binom{m+1}{m+1}=\binom{m+2}{m+1}$ ，可同上式合并。
组合意义是枚举最后一个数出现的位置。
范德蒙德卷积： $\binom{n+m}{k}=\sum\limits_{i=0}^k \binom{n}{i}\binom{m}{k-i}$
证明： $(x+y)^{n+m}=(x+y)^n\times (x+y)^m$ ，或组合意义为从前 n 个中选 i 个，后 m 个中选 k-i 个。
广义二项式系数：不会，先咕咕咕
杨辉三角与生成函数
杨辉三角可以写成二元生成函数，即： $G(x,y)=\frac{1}{1-x-xy}$ 。
将x或y用对方替换，可以做奇怪的二项式求和。
如将 $y=x^k$ ,则 $[x^n]G(x,x^k)=[x^n]\sum\limits\binom{i}{j}x^i x^{jk}=\sum\limits_{i+j\times k =n}\binom{i}{j}$
此式可以用作 $\sum\limits_{i=0}^m\binom{m}{i}$ 的求和，即令 $y=x^0$ 得到 $G(x,1)=\frac{1}{1-2x}$ 。而后系数提取。