【题解】CF1034E

题目描述

给定 $n$ 和长度为 $2^n$ 的数列 $a_{0},a_{1}...a_{2^n-1}$ 和 $b_{0},b_1...b_{2^n-1}$，保证每个元素的值属于 $[0,3]$

生成序列 $c$，对于 $c_i$，有：

$$c_i=\sum_{j|k=i,j\&k=0} a_j\times b_k$$

求 $c_{0},c_1...c_{2^n-1}$，答案对 $4$ 取模。

$n\le 21$，时限 $\rm 1s$

题解

貌似是一个FWT卷积的形式，但是有$j\&k=0$。
可以换个角度思考这样的操作有什么性质。
于是可以得出：当$popcount(j)+popcount(k)=popcount(i)$时，$c_i=\sum_{j|k=i} a_j\times b_k$
那么可以对popcount不同的数分别操作，复杂度$n^2 2^n$。
还有一个题目条件没有用到，数在模4意义下操作。
于是可以将$a_j$变换为$a_j\times 4^{popcount(j)}$,b同理，最终的$c_i$再模$4^{popcount(i)}$就可以刚好得到答案。
妙啊！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int rd(){
	int f=1,j=0;
	char w=getchar();
	while(!isdigit(w)){
		if(w=='-')f=-1;
		w=getchar();
	}
	while(isdigit(w)){
		j=j*10+w-'0';
		w=getchar();
	}
	return f*j;
}
const int N=2100010;
int n;
unsigned int a[N],b[N],c[N];
char s[N];
unsigned int fw[30];
unsigned int cal(int x){
	int ansn=0;
	while(x)ansn+=(x%2==1),x/=2;
	return fw[ansn];
}
void fwt(unsigned int *f,int tag){
	for(int k=1;k<=n;k*=2){
		for(int i=0;i<n;i+=k*2){
			for(int j=0;j<k;j++)if(i+j+k<n)f[i+j+k]+=f[i+j]*tag;
		}
	}
	return ;
}
signed main(){
	n=(1<<rd());
	scanf("%s",s);
	for(int i=0;i<n;i++)a[i]=s[i]-'0';
	scanf("%s",s);
	for(int i=0;i<n;i++)b[i]=s[i]-'0';
	fw[0]=1;
	for(int i=1;i<=21;i++)fw[i]=fw[i-1]*4;
	for(int i=0;i<n;i++)a[i]*=cal(i),b[i]*=cal(i);
	fwt(a,1),fwt(b,1);
	for(int i=0;i<n;i++)c[i]=a[i]*b[i];
	fwt(c,-1);
//	for(int i=0;i<n;i++)cout<<c[i]<<" ";
//	cout<<"\n";
	for(int i=0;i<n;i++)c[i]=c[i]/cal(i)%4;
	for(int i=0;i<n;i++)cout<<c[i];
	return 0;
}