学习笔记 - 随笔分类 - flywatre

摘要：哦哦哦今天才了解到这个神秘科技只有在底数和模数相同的情况下才能用。预处理出

a^{1}, a^{2}, a^{3} . . . a^{s}

$a^1,a^2,a^3...a^s$ 和

a^{2 s}, a^{3 s}, a^{4 s} . . .

$a^{2s},a^{3s},a^{4s}...$ 那么类似BSGS可以

O (1)

$O(1)$ 出结果。预处理复杂度

\sqrt{p}

$\sqrt{p}$ 。阅读全文

posted @ 2023-05-01 09:46 flywatre 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】斯特林数

摘要：听说第一类斯特林数啥用没有，先咕咕咕。第二类斯特林数是将

n

$n$ 个有标号球放入

m

$m$ 个无区别盒子的方案数（盒子不可为空）递推式: $$

[\begin{matrix} n \m \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}n\m\end{bmatrix}$ =

[\begin{matrix} n - 1 \m - 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}n-1\m-1\end{bmatrix}$ + m\t 阅读全文

posted @ 2023-04-27 12:13 flywatre 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】反演魔法

摘要：推荐学习博客反演，就是讲一个函数乘一个矩阵变为另一个函数，逆反演就是乘逆矩阵。 #二项式反演

F (n) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) G (i)

$F(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} G(i)$

<>

$< >$ $G(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i} 阅读全文

posted @ 2023-04-26 22:13 flywatre 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】二次剩余

摘要：定义求解

x^{2} \equiv c (\mod p)

$x^2 \equiv c\quad(\mod p)$ 方程组。若有解则 c 为模 p 意义下的二次剩余。欧拉判别若

c^{\frac{p - 1}{2}} = 1

$c^{\frac{p-1}{2}}=1$ 则是二次剩余，若等于 -1 则不是二次剩余。

c^{\frac{p - 1}{2}} = 1 或 - 1

$c^{\frac{p-1}{2}}=1或-1$ ，考虑把

c

$c$ 平方。阅读全文

posted @ 2023-04-26 21:17 flywatre 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】拓展中国剩余定理

摘要：若干方程组：

{\begin{cases} x \equiv c_{1} (\mod p_{1}) x \equiv c_{2} (\mod p_{2}) \cdot \cdot \cdot x \equiv c_{m} (\mod p_{m}) \end{cases}

$\begin{cases} x\equiv c_1\quad(\mod p_1) \ x\equiv c_2\quad(\mod p_2)\ ···\ x\equiv c_m\quad(\mod p_m) \end{cases}$ 求x但不保证p互质。采用两两方程合并的形式。 $\b 阅读全文

posted @ 2023-04-26 19:00 flywatre 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】拓展欧拉定理

摘要：$$ a^n= \begin{cases} a^{n\mod \varphi(m)} \quad(a \perp m)\ a^n\quad (a \not\perp m,n<m)\ a^{(n \mod \varphi(m))+\varphi(m)} \quad (a\not\perp m,n\ge 阅读全文

posted @ 2023-04-26 17:20 flywatre 阅读(2) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】线性求逆元

摘要：假设我们已经求出了 [1,n-1] 的逆元，现在要求 n 的逆元。令

t = ⌊ \frac{p}{n} ⌋, k = p

$t=\lfloor{\frac{p}{n}}\rfloor,k= p % n$ ，那么：

t \times n + k \equiv 0 (\mod p)

$t\times n+k\equiv 0 (\mod p)$

- t \times n \equiv k (\mod p)

$-t\times n\equiv k (\mod p)$ 令左右同阅读全文

posted @ 2023-04-26 16:56 flywatre 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】杜教筛

摘要：如果我们要求一个积性函数

f (x)

$f(x)$ 的前缀和，可以用杜教筛在

O (n^{\frac{2}{3}})

$O(n^{\frac{2}{3}})$ 的复杂度求出。具体地，构造函数

g (x)

$g(x)$ 和函数

h (x)

$h(x)$ ，使得

h = f * g

$h=f*g$ ，要求的式子是

S (n) = \sum_{i = 1}^{n} f (i)

$S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(i)$ 。开始推式子。阅读全文

posted @ 2023-04-26 16:33 flywatre 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】莫比乌斯反演

摘要：先来了解一下狄利克雷卷积的概念。对于函数

f

$f$ 和

g

$g$ ，我们定义运算

“ * ”

${“*”}$ 为：

F (x) = \sum_{d | n} f (x) \times g (\frac{n}{d})

$F(x)=\sum\limits_{d|n}f(x)\times g(\frac{n}{d})$ 莫比乌斯函数： $$ \mu(x)=\begin{cases} (-1)^k (x的每个质因阅读全文

posted @ 2023-04-26 15:33 flywatre 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】组合数杂项笔记

摘要：

(\binom{n}{m}) = \frac{n}{m} (\binom{n - 1}{m - 1})

$\binom{n}{m} = \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1}$

\to

$\to$ 可以用来消去一些神秘的系数。二项式定理：

(x + y)^{n} = \sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) x^{i} y^{n - i}

$(x+y)^n = \sum \limits_{i=1}^n \binom{n}{i} x^i y^{n-i}$ 帕斯卡三角递推：$\binom{n} 阅读全文

posted @ 2023-04-25 21:58 flywatre 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】NTT与全家桶

摘要：NTT 可用原根的性质模拟单位根。对于

g

$g$ 是

p

$p$ 的原根，如果

n | (p - 1)

${n | (p-1)}$ ，那么

g^{(p - 1) / n}

$g^{(p-1)/n}$ 的阶为

n

$n$ 。也有不用原根的方法。随便找一个非二次剩余

v

$v$ （998244353

\to

$\to$ 3），阶数为

n

$n$ 的单位根为 $v^{(p-1)/ 阅读全文

posted @ 2023-04-25 10:58 flywatre 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】原根

摘要：原根是

N T T

$NTT$ 的前置，想学

N T T

$NTT$ 就得先学求原根。由于作者个人时间原因，原根直接讲结论。只有

2, 4, p^{c}, 2 \times p^{c}

$2,4,p^c,2\times p^c$ 有原根，其中

c

$c$ 为奇质数。

n

$n$ 的原根大概在

n^{0.25}

$n^{0.25}$ 左右，且分布密集。检测

p

$p$ 是否是原根，要看对于所有的 $\phi 阅读全文

posted @ 2023-04-25 09:42 flywatre 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】快速傅里叶变换

摘要：~~怎么有人省选后才来学FFT啊~~ 由于时间原因，本篇笔记仅为个人总结，真正想要学习FFT的请参看这篇博客。前置知识单位根性质：

w_{n}^{2 k} = w_{n / 2}^{k}

$w_n^{2k}= w_{n/2}^k$

w_{n}^{a} + w_{n}^{b} = w_{n}^{a + b}

$w_n^a +w_n^b =w_n^{a+b}$ 算法原理可知 n+1 个点可以唯一确定一条 n 次多项式，阅读全文

posted @ 2023-04-24 19:35 flywatre 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】SAM的应用

摘要：command_block-SAM的应用感谢大佬的指点 ~~暴论：后缀数组什么辣鸡啊，再也不用后缀数组啦！加入SAM神教！~~ CF802I Fake News (hard) 建出后缀自动机，可知一个串的出现次数即为endpos个数也是后缀链接树上的子节点个数。同一endpos集合的子集中子串长阅读全文

posted @ 2023-04-17 22:02 flywatre 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】动态树 Link Cut Tree

摘要：算法简介动态树（Link Cut Tree）简称lct，可以维护动态的联通结构和动态链上信息维护问题，高妙数据结构。算法流程 talk is cheap,show me the code. 洛谷模板题代码。 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; 阅读全文

posted @ 2023-04-15 16:47 flywatre 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】后缀自动机 SAM

摘要：由于本人时间原因，此处只为一个SAM的总结，讨论SAM的基本操作以及性质，详细证明如要详细学习请查询luogu题解。算法原理 SAM中每一个节点代表所有结束位置（endpos）相同的串的集合。每个节点有：1.后缀链接link（到endpos包含它且maxlen最长的那个点，且是为当前点的后缀的阅读全文

posted @ 2023-04-15 10:33 flywatre 阅读(39) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【学习笔记】LGV引理

摘要：令

w (P)

$w(P)$ 表示路径

P

$P$ 的所有边权之积，

e (u, v)

$e(u,v)$ 表示所有

u

$u$ 到

v

$v$ 的路径

w (P)

$w(P)$ 之和，令： $$ M= \begin{bmatrix} e(A_1,B_1) \quad e(A_1,B_2) \quad ... \quad e(A_1,B_n) \ e(A 阅读全文

posted @ 2023-04-15 09:11 flywatre 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【题解】P1117 优秀的拆分

摘要：题目大意给定字符串，求所有的AABB的个数和。（字符串长度小于等于30000）题解写篇题解记录一下这个经典trick。首先如果我们钦定AA中A的长度为len，将序列按len个依次分块，现在我们有

\frac{n}{l e n}

$\frac{n}{len}$ 块，那么每个A一定至少和一个分割点相交。那么我们可以处理出每块与下阅读全文

posted @ 2023-03-12 21:08 flywatre 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】dsu on tree

摘要：看到了就来学一下。思想借鉴了一类启发式合并的思想？由于树的分叉结构有可以二分的性质，有重儿子的信息是可以直接从子树继承，轻儿子不超过

l o g

$log$ 层。于是先计算轻儿子，回溯时清空轻儿子，再计算重儿子，回溯时不清空。时间复杂度

n l o g n

$nlogn$ ，主要可以爆踩树上莫队。阅读全文

posted @ 2023-03-03 14:27 flywatre 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【学习笔记】后缀数组

摘要：容易忘记这个东西，干脆写篇博客把关键的地方讲清楚。（个人笔记向） void getsa(){ int len=123; for(int i=1;i<=n;i++)cnt[id[i]=s[i]]++; for(int i=1;i<=len;i++)cnt[i]+=cnt[i-1]; for(int i 阅读全文

posted @ 2023-02-23 20:44 flywatre 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Flywatre's Blog

所以现在，请一如既往，请奋然前行，请存在，请凯旋

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