三种常见的平滑滤波方法

一、概述

  平滑滤波，顾名思义就是对信号进行处理使之整体显得更加平滑，降低噪声影响，提高信号质量，它常见于数学信号处理和图像处理，一般意义上的数字信号多体现于一维数据，图像信号多体现于二维数据。
  均值滤波、中值滤波、高斯滤波是三种常见的平滑滤波方法，其中均值滤波和高斯滤波是线性技术，中值滤波是非线性技术。它们实现的基本原理是基本一致的，指定一个滑动窗口，计算其中的均值、中值、卷积值输出到当前位置。
  均值滤波、高斯滤波对高斯噪声表现较好，但对椒盐噪声表现较差；中值滤波则对椒盐噪声表现较好，对高斯噪声表现较差。

二、基本原理

  均值滤波、中值滤波、高斯滤波的基本原理都是以一个滑动窗口，以指定的计算方式得到其中的值，将它输出到信号的当前位置，


  均值滤波计算均值，中值滤波计算中值，高斯滤波计算卷积值。窗口大小L的设定一般为2k+1，每次计算窗口中心位置的值。
  该种策略下，在边缘区域窗口输出的位置是无法覆盖到的，因此需要特定的方式进行处理。处理的方式通常有四种：不作处理、只计算窗口包含区域、外周填充0、外周填充邻近元素值或指定值。

1.均值滤波

(1)一维
  对于信号(a1,a2,…,an)，定义一个大小为L的窗口，计算窗口中元素的均值

\[vmean=\frac{1}{L}\sum_{i=1}^{L}{x_i} \]

  作为对应窗口 \(\frac{L+1}{2}\)位置处的输出值。
(2)二维
  对于一幅灰度图像

\[A=\begin{equation*} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \end{equation*} \]

  定义一个大小为L*L的窗口，计算窗口中元素的均值

\[vmean=\frac{1}{L^{2}}\sum_{i=1}^{L}{\sum_{j=1}^{L}{p_{ij}}} \]

  作为对应窗口 \(\left( \frac{L+1}{2},\frac{L+1}{2} \right)\) 位置处的输出值。

2.中值滤波

(1)一维
  对于信号(a1,a2,…,an)，定义大小为L的窗口，计算窗口中元素的中值。

• 升序（降序）排列为(r1,r2,…,rL)，
• 取中间\(\frac{L+1}{2}\)处的值，作为对应窗口\(\frac{L+1}{2}\) 位置处的输出值。

(2)二维
  对于一幅灰度图像

\[A=\begin{equation*} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \end{equation*} \]

  定义大小为L*L的窗口，计算窗口中元素的中值。

• 升序（降序）排列为(r1,r2,…,rL2)，
• 取中间 \(\frac{L^2+1}{2}\)处的值，作为对应窗口 \(\left( \frac{L+1}{2}, \frac{L+1}{2}\right)\)位置处的输出值。

3.高斯滤波

  高斯滤波类似于均值滤波和中值滤波，形式上和均值滤波是统一的。均值滤波计算的是元素的均值，也就是均数1/n的加权和。高斯滤波同样定义一个滑动窗口，这个窗口中对应于每个元素定义了一个权重参数，窗口的输出就是数据元素和这些权重参数的加权和，因为这个运算是形式化的卷积运算，因此这个窗口叫做卷积核。
（1）一维
  对于信号(a1,a2,…,an)，定义一个大小为L的卷积核

\[\left( w_1,w_2,...,w_L \right) \]

  与数据元素做卷积运算，得到值

\[vgaus=\sum_{i=1}^{L}{w_i\cdot x_i} \]

  作为对应窗口 \(\frac{L+1}{2}\)位置处的输出值。
（2）二维
  对于一幅灰度图像

\[A=\begin{equation*} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \end{equation*} \]

  定义一个大小为L*L的卷积核

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} w_{11} & \cdots & w_{1L} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{L1} & \cdots & w_{LL} \end{bmatrix} \end{equation*} \]

  与数据元素做卷积运算，得到值

\[vgaus=\sum_{i=1}^{L}{\sum_{j=1}^{L}{w_{ij}\cdot x_{ij}}} \]

  作为对应窗口\(\left( \frac{L+1}{2}, \frac{L+1}{2}\right)\)位置处的输出值。

4.边缘处理

  滤波窗口处在数据边缘区域时，对于最外周的 \(\frac{L-1}{2}\)宽度的那些元素，窗口输出的位置无法涵盖到它们，因此需要以一定的策略对该区域进行处理。常见的处理策略有以下几种：
（1）不作处理
  对于边缘区域不作处理，计算时直接略过。
（2）只计算窗口包含区域
  照常由窗口的中心点进行覆盖，计算时不计外周缺失的部分，只计算窗口包含的区域。
（3）外周填充0
  照常由窗口的中心点进行覆盖，外周缺失的部分填充0。
（4）外周填充邻近元素值或其他指定值
  照常由窗口的中心点进行覆盖，外周缺失的部分填充邻近元素值或其他指定的值。

三、示例

1.均值滤波

一维：
  有信号段S=[3, 2, 4, 5, 13, 7, 9, 10, 1, 6]，定义长度为3的窗口，进行均值滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。
  首位置窗口的三个元素为[0,3,2]，输出均值 \(\frac{0+3+2}{3}\approx1.67\) ；
  窗口滑至下一位置，三个元素为[3,2,4]，输出均值 \(\frac{3+2+4}{3}=3\)；
  窗口滑至下一位置，三个元素为[2,4,5]，输出均值 \(\frac{2+4+5}{3}\approx3.67\) ；
  同样地，窗口依次输出值7.33、8.33、9.67、8.67、6.67、5.67，在最后一个窗口位置，三个元素为[1,6,0]，输出均值2.33。
  因此，输出的信号段为O=[1.67, 3, 3.67, 7.33, 8.33, 9.67, 8.67, 6.67, 5.67, 2.33]。

二维：
  有图像矩阵

\[I=\begin{equation*} \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 & 6 \\ 2 & 5 & 7 & 1 \\ 2 & 0 & 6 & 10 \\ 7 & 3 & 5 & 9 \end{bmatrix} \end{equation*} \]

  定义长度为3*3的窗口，进行均值滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。
  首位置窗口内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出均值 \(\frac{1}{9}\left( 0+0+0+0+0+4+3+2+5 \right)\approx1.56\) ；
  窗口滑至下一位置，内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出均值2.44；
  窗口滑至下一位置，内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 6 \\ 5 & 7 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出均值2.56；
  窗口滑至下一位置，内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 7 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出均值1.67；
  同样地，窗口依次输出值1.78、3.33、4.33、3.44、2.11、4.11、5.11、4.22、1.33、2.56、3.67、3.33。
  因此，输出的图像矩阵为

\[O=\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1.56 & 2.44 & 2.56 &1.67 \\ 1.78 & 3.33 & 4.33 & 3.44 \\ 2.11 & 4.11 & 5.11 & 4.22 \\ 1.33 & 2.56 & 3.67 & 3.33 \end{bmatrix} \end{equation*} \]

。

2.中值滤波

一维：
  有信号段S=[3, 2, 4, 5, 13, 7, 9, 10, 1, 6]，定义长度为3的窗口，进行中值滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。
  首位置窗口的三个元素为[0,3,2]，输出中值2；
  窗口滑至下一位置，三个元素为[3,2,4]，输出中值3；
  窗口滑至下一位置，三个元素为[2,4,5]，输出中值4；
  同样地，窗口依次输出值5、7、9、9、9、6、1。
  因此，输出的信号段为O=[2, 3, 4, 5, 7, 9, 9, 9, 6, 1]。

二维：
  有图像矩阵

\[I=\begin{equation*} \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 & 6 \\ 2 & 5 & 7 & 1 \\ 2 & 0 & 6 & 10 \\ 7 & 3 & 5 & 9 \end{bmatrix} \end{equation*} \]

  定义长度为3*3的窗口，进行中值滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。
  首位置窗口内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出中值0；
  窗口滑至下一位置，内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出中值2；
  窗口滑至下一位置，内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 6 \\ 5 & 7 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出中值1；
  窗口滑至下一位置，内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 7 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出中值0；
  同样地，窗口依次输出值2、3、5、1、2、5、5、5、0、2、3、0。
因此，输出的图像矩阵为

\[O=\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 5 & 5 & 5 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} \end{equation*} \]

。

3.高斯滤波

一维：
  有信号段S=[3, 2, 4, 5, 13, 7, 9, 10, 1, 6]，定义长度为3的卷积核[1, 0, 1]，进行高斯滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。
  首位置窗口的三个元素为[0,3,2]，输出卷积值2；
  窗口滑至下一位置，三个元素为[3,2,4]，输出卷积值7；
  窗口滑至下一位置，三个元素为[2,4,5]，输出卷积值7；
  同样地，窗口依次输出值17、12、22、17、10、16、1。
  因此，输出的信号段为O=[2, 7, 7, 17, 12, 22, 17, 10, 16, 1]。

二维：
  有图像矩阵

\[I=\begin{equation*} \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 & 6 \\ 2 & 5 & 7 & 1 \\ 2 & 0 & 6 & 10 \\ 7 & 3 & 5 & 9 \end{bmatrix} \end{equation*} \]

  定义长度为3*3的卷积核

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，进行高斯滤波的平滑处理，边缘区域以填充0的方式操作。
  首位置窗口内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出卷积值5；
  窗口滑至下一位置，内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出卷积值9；
  窗口滑至下一位置，内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 6 \\ 5 & 7 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出卷积值6；
  窗口滑至下一位置，内容为

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 7 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \]

，输出卷积值1；
  同样地，窗口依次输出值3、13、19、7、8、21、18、12、0、8、10、6。
  因此，输出的图像矩阵为

\[O=\begin{equation*} \begin{bmatrix} 5 & 9 & 6 & 1 \\ 3 & 13 & 19 & 7 \\ 8 & 21 & 18 & 12 \\ 0 & 8 & 10 & 6 \end{bmatrix} \end{equation*} \]

。

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End.