算法训练：动态规划

数字三角形

时间限制：2 sec

空间限制：256 MB

问题描述

给定一个高度为 n 的“数字三角形”，其中第 i 行（1<=i<=n）有 i 个数。（例子如下图所示）

初始时，你站在“数字三角形”的顶部，即第一行的唯一一个数上。每次移动，你可以选择移动到当前位置正下方或者当前位置右下方的位置上。即如果你在 (i,j)（表示你在第i行从左往右数第j个数上，下同），你可以选择移动到 (i+1,j) 或 (i+1,j+1)。

你想让你经过的所有位置（包括起点和终点）的数字总和最大。求这个最大值。

输入格式

第一行一个正整数 n，表示数字三角形的大小。

第 2 行到第 n+1 行，第 i+1 行为 i 个用空格隔开的非负整数，描述数字三角形的第 i 行。

输出格式

一行一个整数，表示经过路径上数的最大总和。

样例输入

4
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10

样例输出

20
样例解释
不停地向右下走即可。

数据范围

对于 50% 的数据，保证 n<=5。

对于 100% 的数据，保证 n<=1,000，保证数字三角形内的数不超过 10^6。

提示
[如果我们使用搜索算法，我们会在搜索时记录哪些信息呢？]

[当前到达的点的坐标、当前经过路径上数的总和！]

[总和显然是越大越好！]

[于是可以设计出状态：dp[i][j] 表示走到坐标为 (i,j) 的点时的最大总和。]

[很容易就可以设计出状态转移方程啦！]

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// ================= 代码实现开始 =================

/* 请在这里定义你需要的全局变量 */

// 本函数计算答案（最大经过位置数字总和）
// n：描述数字三角形大小，意义同题目描述
// a：描述整个数字三角形，第 i 行的第 j 个数存放在 a[i][j]
// 中（你需要特别注意的是，所有下标均从 1 开始，也就是说下标为 0 的位置将存放无效信息）
// 返回值：最大经过位置数字总和
int getAnswer(int n, vector<vector<int>> a) {
    /* 请在这里设计你的算法 */
}

// ================= 代码实现结束 =================

int main() {
    int n;
    vector<vector<int>> a;
    scanf("%d", &n);
    a.resize(n + 1);
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
        a[i].resize(i + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= i; ++j)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    int ans = getAnswer(n, a);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

动态规划自上而下，一行一行求解

#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

vector<vector<int>> dp;

int getAnswer(int n, vector<vector<int>> a)
{
    dp.resize(n + 1);
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        dp[i].resize(i + 2);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)    
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + a[i][j];
    

    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        ans = max(ans, dp[n][i]);

    return ans;
}

自下而上，一行一行求解，所有下标均从 0 开始,data[0][0] 代表第1行第1列数据，代码如下

#include <algorithm>  
#include <vector>  
#include <iostream>

using namespace std;

int n;
vector<int> data[1005];
int dp[1005];
int main_dsa()
{
    int x;
    scanf("%d", &n);

    //数据输入
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < i + 1; ++j)
        {
            scanf("%d", &x);
            data[i].push_back(x);
        }
    }
    
    // 最后一行数据
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        dp[i] = data[n - 1][i];
    }

    for (int i = n - 2; i >= 0; --i)
        for (int j = 0; j < i + 1; ++j)
            dp[j] = data[i][j] + max(dp[j], dp[j + 1]);
    
    printf("%d\n", dp[0]);
    return 0;
}

 

背包问题1

描述

n种物品，每种物品有相应的价值和体积，同时物品还分为两类，一类是“单个物品”，即该种物品只有一个；一类是“多个物品”，即该种物品有无限个。

现在你有一个体积为V的背包，那么该装些什么物品到背包里使得价值之和最大呢？

输入

第一行包含两个正整数n,V。

接下来n行，每行代表一种物品。每行的第一个数字表示该物品的种类（若为0表示“单个物品”，若为1表示“多个物品”），第二个数字表示该物品的价值，第三个数字表示该物品的体积。

输出

输出一个整数，表示最大的价值之和。

样例1输入
5 8
0 6 8
0 7 3
1 1 1
0 8 1
0 5 2
样例1输出
22
样例1解释
第三种物品有无限个，其余都是单个物品。

若我们放入物品1，则背包已经装满，此时价值和为6；

若我们放入物品2、4、5，背包所剩体积为8-3-1-2=2，此时价值和为7+8+5=20；

若我们放入8个物品3，背包装满，此时价值之和为8×1=8；

若我们放入物品2、4、5，再放两个物品3，则背包装满，此时价值和为7+8+5+2×1=22。

可以验证，最优答案就是22。

限制
对于30%的数据，n,V ≤ 20；

对于100%的数据，n,V ≤ 5000。

保证数据中所有的整数均为正整数，且不超过5000。

代码实现

// ================= 代码实现开始 =================

/* 请在这里定义你需要的全局变量 */

// n：物品个数
// V：背包的体积
// type：长度为n的数组，第i个元素若为0，表示物品i为单个物品；若为1，表示物品i为多个物品。（i下标从0开始，下面同理）
// w：长度为n的数组，第i个元素表示第i个物品的价值
// v：长度为n的数组，第i个元素表示第i个物品的体积
// 返回值：最大价值之和
int getAnswer(int n, int V, vector<int> type, vector<int> w, vector<int> v); 

// ================= 代码实现结束 =================

int main() {
    int n, V;
    scanf("%d%d", &n, &V);
    vector<int> T, W, _V;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int t, w, v;
        scanf("%d%d%d", &t, &w, &v);
        T.push_back(t);
        W.push_back(w);
        _V.push_back(v);
    }
    printf("%d\n", getAnswer(n, V, T, W, _V));
    return 0;
}
//---------------------------------
int getAnswer(int n, int V, vector<int> type, vector<int> w, vector<int> v) 
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
        if (type[i])//完全背包，顺序枚举
            for(int j = V; j >= v[i]; j--)            
                f[j] = max(f[j],f[(j-v[i])] + w[i]);
        else //0-1背包
            for(int j = v[i]; j <= V; j++)            
                f[j] = max(f[j],f[(j-v[i])] + w[i]);    
    return f[V];
}