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如果集合 V 在向量求和 (+ : V × V →V ) 和标量乘法 (· : R × V →V) 下是闭合的,则称其为域 R 上的线性空间或向量空间
即αv1 + βv2 ∈ V ∀v1, v2 ∈ Ⅴ、 ∀α, β ∈ R。 关于加法 (+),它形成一个交换群(存在中性元素 0,逆元素 -v)。 标量乘法尊重 R 的结构:α(βu) = (αβ)u。 乘法和加法遵守分配律:(α + β)v = αv + βv 且 α(v + u) = αv + αu:
例⼦: V = Rn, v = (x1,……, xn)T
向量空间 V 的子集 W ⊂ V 称为子空间,如果0 ∈ W 和W 在+ 和· 下闭合(对于所有α∈R)。
一组向量 S ={v1,……,vk} ⊂ V的张成子空间,是由这些向量的所有线性组合形成的子空间:
span(S) = (v 2 V v = Xi=k1 αivi)
如果满足以下条件,则称集合 S 线性无关:
αivi = 0 ) αi = 0 8i;
换句话说:任何一个向量都不能表示为剩余向量的线性组合。 否则该集合称为线性相关。
如果一组向量 B 是线性无关的并且跨越向量空间 V,则称为 V 的基。基是线性无关向量的最大集合。
设 B 和 B' 是线性空间 V 的两个底。
1 B 和 B' 包含相同数量的向量。 这个数 n 称为空间 V 的维数。
2 任何向量 v∈V 都可以唯一地表示为 B = {b1,...,bn} 中的基向量的线性组合:
v =
nXi=1
αibi:
3 特别地,B的所有向量都可以表示为另一个基b0的向量的线性组合
我 2 B0:
双0 =
nXj=1
αjibj
这个基变换的系数 αji 可以是
组合成矩阵 A。设置 B ≡ (b1; : : : ; bn) 和
B0 ≡ (b10 ; : : : ; bn0 ) 作为基向量的矩阵,我们可以
写: B0 = BA ,B = B0A−1。