-
数的认识
-
数的运算
-
量与计量
- 长度单位（米、厘米等）
- 面积单位（平方米、平方厘米等）
- 体积单位（立方米、立方厘米等）
- 质量单位（千克、克等）
- 时间单位（小时、分钟、秒等）
-
几何初步
- 平面图形（三角形、四边形、圆等）
- 立体图形（立方体、圆柱体、球体等）
- 图形的属性（边、角、周长、面积、体积等）
- 图形的变换（平移、旋转、缩放等）
-
比和比例
-
代数初步
-
统计与概率
-
应用题
- 行程问题
- 工程问题
- 经济问题
- 其他实际问题的数学建模
|
|
小学数学知识归纳总结
第一章 数和数的运算
基本概念
整数
-
整数的意义：
-
自然数：
- 用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
- 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
-
计数单位：
- 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
- 其中“一”是计数的基本单位。
- 每相邻两个计数单位之间的进率都是10，称为十进制计数法。
-
数位：
- 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
-
整数的读法：
- 从高位到低位，一级一级地读。
- 读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。
- 每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。
-
整数的写法：
- 从高位到低位，一级一级地写。
- 哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
-
改写和近似数：
- 把较大的数改写成以“万”或“亿”为单位的数，称为准确数。
- 省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。
- 四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。
-
整数大小的比较：
- 位数多的那个数就大。
- 如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大。
- 最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
小数
-
小数的意义：
- 把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
- 如1/10记作0.1, 7/100记作0.07。
-
小数的组成：
- 由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
- 小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）。
-
小数的计数单位：
- 小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。
- 小数部分有几个数位，就叫做几位小数。
-
小数的进率：
- 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
- 小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
|
|
小数
-
小数的读法：
- 整数部分按照整数的读法读。
- 小数点读作“点”。
- 小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
-
小数的写法：
- 整数部分按照整数的写法来写。
- 小数点写在个位右下角。
- 小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
-
比较小数的大小：
- 先看整数部分，整数部分大的那个数就大。
- 整数部分相同，比较十分位，十分位大的数就大。
- 十分位相同，比较百分位，百分位大的数就大。
-
小数的分类：
- 纯小数：整数部分是零的小数，如0.25、0.368。
- 带小数：整数部分不是零的小数，如3.25、5.26。
- 有限小数：小数部分数位有限，如41.7、25.3、0.23。
- 无限小数：小数部分数位无限，如4.33...、3.1415926。
- 无限不循环小数：小数部分数字排列无规律且位数无限。
- 循环小数：小数部分有一个或几个数字依次不断重复出现，如3.555...、0.0333...、12.109109...
- 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始，如3.111、0.5656。
- 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始，如3.1222...、0.03333。
分数
-
分数的意义：
- 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
-
分数的读法：
-
分数的写法：
-
比较分数的大小：
- 分母相同，分子大的分数大。
- 分子相同，分母小的分数大。
- 分母和分子都不同，通常先通分再比较。
- 带分数先比较整数部分，再比较分数部分。
-
分数的分类：
- 真分数：分子比分母小，小于1。
- 假分数：分子比分母大或相等，大于或等于1。
- 带分数：假分数写成整数与真分数合成的数。
-
分数和除法的关系及分数的基本性质：
- 除法是一种运算，分数是一种数。
- 被除数相当于分子。
|
|
数学知识归纳总结
分数
-
分数的基本性质：
- 分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
-
约分和通分：
- 最简分数：分子、分母是互质数的分数。
- 约分：把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数。
- 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。
-
倒数：
- 乘积是1的两个数互为倒数。
- 求一个数（0除外）的倒数，只需将分子、分母调换位置。
百分数
-
百分数的意义：
- 表示一个数是另一个数的百分之几的数，通常用"%"表示。
-
百分数的读写：
- 读百分数时，先读“百分之”，再读百分号前面的数。
- 写百分数时，通常在分子后面加上百分号“%”。
-
百分数与折数、成数的互化：
-
纳税和利息：
- 税率：应纳税额与各种收入的比率。
- 利率：利息与本金的百分率，通常由银行规定。
-
百分数与分数的区别：
- 意义不同：百分数表示倍数关系，分数表示具体数量。
- 应用范围不同：百分数用于统计分析，分数用于测量计算。
- 书写形式不同：百分数用百分号表示，分数用分数线表示。
数的互化
-
小数化成分数：
- 根据小数点后的位数确定分母，小数点后的数作为分子，进行约分。
-
分数化成小数：
|
|
分数与小数
-
分数化成有限小数的条件：
- 如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，分数能化成有限小数。
-
小数化成百分数：
-
百分数化成小数：
-
分数化成百分数：
-
百分数化成分数：
数的整除
-
整除的意义：
- 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数。
-
约数和倍数：
- 如果数a能被数b整除，a就是b的倍数，b就是a的约数。
-
奇数和偶数：
-
整除的特征：
- 个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除。
- 个位上是0或5的数能被5整除。
- 各位数之和能被3或9整除的数，该数也能被3或9整除。
-
质数和合数：
- 只有1和它本身两个约数的数是质数。
- 除了1和它本身还有别的约数的数是合数。
-
分解质因数：
- 合数可以写成几个质数相乘的形式，这些质数是该合数的质因数。
其他概念
-
数的整除特征：
- 末两位数能被4或25整除的数，该数能被4或25整除。
- 末三位数能被8或125整除的数，该数能被8或125整除。
-
奇数和偶数的运算性质：
- 相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数。
- 奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数。
- 奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数。
- 奇数x奇数=奇数，奇数x偶数=偶数，偶数x偶数=偶数。
|
|
分解质因数
- 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，称为分解质因数。
- 通常使用短除法来分解质因数，先用能整除该合数的质数去除，直到商是质数为止。
- 然后将除数和商写成连乘的形式。
公因数（约数）
- 几个数公有的因数称为这些数的公因数。
- 最大的公因数称为最大公约数。
- 公因数只有1的两个数称为互质数。
- 互质数的情况包括：与任何自然数互质、相邻自然数互质、合数与不是其倍数的质数互质、两个合数的公约数只有1时互质。
- 如果较小数是较大数的约数，那么较小数是这两个数的最大公约数。
- 如果两个数是互质数，它们的最大公约数是1。
公倍数
- 几个数公有的倍数称为这些数的公倍数。
- 最大的公倍数称为最大公倍数。
- 求最大公约数的方法是：用这几个数的公约数连续去除，直到商只有公约数1，然后将所有除数连乘求积。
- 最小公倍数是几个数公有的最小倍数。
- 求最小公倍数的方法是：用这几个数的公约数去除，直到互质，然后将所有除数和商连乘求积。
- 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数是这两个数的最小公倍数。
- 如果两个数是互质数，那么它们的积是最小公倍数。
- 几个数的公约数个数有限，而公倍数个数无限。
性质和规律
-
商不变的规律：
- 在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。
-
小数的性质：
-
小数点位置移动引起小数大小变化：
- 小数点右移一位，数扩大10倍；右移两位，扩大100倍；右移三位，扩大1000倍。
- 小数点左移一位，数缩小10倍；左移两位，缩小100倍；左移三位，缩小1000倍。
- 移动位数不够时，用“0”补足位。
-
分数的基本性质：
- 分数的分子和分母都乘以或除以相同的数（零除外），分数大小不变。
-
分数与除法的关系：
- 被除数÷除数 = 被除数/除数。
- 分数的分母不能为零。
- 被除数相当于分子，除数相当于分母。
运算法则
这是图片中包含的所有关于分解质因数、公因数、公倍数以及数的性质和规律的内容。
|
|
整数四则运算
-
整数加法：
- 合并两个数成一个数的运算。
- 加数 + 加数 = 和。
- 一个加数 = 和 - 另一个加数。
-
整数减法：
- 已知和与一个加数，求另一个加数的运算。
- 被减数 - 减数 = 差。
- 减法是加法的逆运算。
-
整数乘法：
- 求几个相同加数和的简便运算。
- 因数 × 因数 = 积。
- 一个因数 = 积 ÷ 另一个因数。
- 0乘以任何数得0，1乘以任何数得任何数。
-
整数除法：
- 已知积与一个因数，求另一个因数的运算。
- 被除数 ÷ 除数 = 商。
- 除数 = 被除数 ÷ 商。
- 被除数 = 商 × 除数。
- 除法是乘法的逆运算。
- 0不能做除数。
-
乘方：
- 求几个相同因数积的运算。
- 例如：33=3×3×3=2733=3×3×3=27。
小数四则运算
-
小数加法：
-
小数减法：
-
小数乘法：
- 乘以整数的意义与整数乘法相同。
- 乘以纯小数的意义是求一个数的十分之几、百分之几、千分之几等。
-
小数除法：
分数四则运算
-
分数加法：
-
分数减法：
-
分数乘法：
-
分数除法：
|
|
运算定律
-
加法运算定律：
- 加法交换律：a+b=b+aa+b=b+a
- 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)
-
乘法运算定律：
- 乘法交换律：a×b=b×aa×b=b×a
- 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)(a×b)×c=a×(b×c)
- 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c(a+b)×c=a×c+b×c
- 乘法分配律扩展：(a−b)×c=a×c−b×c(a−b)×c=a×c−b×c
-
减法运算定律：
- 连续减去几个数，可以减去这些数的和：a−b−c=a−(b+c)a−b−c=a−(b+c)
- 连续减去两个数，可以改变减数的顺序：a−b−c=a−c−ba−b−c=a−c−b
-
除法运算定律：
- 连续除以两个数，可以除以这两个数的积：a÷b÷c=a÷(b×c)a÷b÷c=a÷(b×c)
- 连续除以两个数，可以改变除数的顺序：a÷b÷c=a÷c÷ba÷b÷c=a÷c÷b
-
其他运算性质：
- a−b+c=a+c−ba−b+c=a+c−b
- a−b+c=a+(b−c)a−b+c=a+(b−c)
- a÷b×c=a×c÷ba÷b×c=a×c÷b
- a÷b×c=a÷(b÷c)a÷b×c=a÷(b÷c)
-
积的变化规律：
- 一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍，积也扩大或缩小相同的倍数。
-
商不变性质：
计算方法
-
整数加法计算法则：
-
整数减法计算法则：
- 相同数位对齐，从低位减起，不够减时从高位借一当十。
|
|
整数计算法则
-
整数乘法：
- 用一个因数的每一位数去乘另一个因数的每一位数，对齐相应的位置，然后将得到的结果相加。
-
整数除法：
- 从高位开始除，除数是几位数就看被除数的前几位。
- 如果某一位不够除，就多看一位，商写在相应的位置上。
- 每次除得的余数必须小于除数。
小数计算法则
-
小数乘法：
- 先按整数乘法计算出积，然后根据因数中小数的位数确定小数点的位置。
- 如果小数位数不够，用“0”补足。
-
小数除法：
- 除数是整数：按整数除法规则进行，商的小数点与被除数的小数点对齐。
- 除数是小数：将除数变为整数，被除数的小数点相应移动，然后按除数是整数的规则进行。
分数计算法则
-
同分母分数加减：
-
异分母分数加减：
-
带分数加减：
-
分数乘法：
- 分数乘整数：分子乘以整数，分母不变。
- 分数乘分数：分子相乘，分母相乘。
-
分数除法：
运算顺序
-
小数和分数的四则运算顺序：
-
无括号混合运算：
-
有括号混合运算：
-
第一级运算：
-
第二级运算：
应用题解题步骤
-
简单应用题：
-
解题步骤：
- 审题理解：了解条件和问题，弄明白题意。
- 选择算法和列式计算：根据条件和问题，确定算法，进行解答，并标明单位。
|
|
C检验
- 根据应用题的条件和问题进行检查，确保所列算式和计算过程正确，符合题意。
- 如果发现错误，立即改正。
复合应用题
-
定义：
- 包含两个或以上基本数量关系，需两步或以上运算解答的应用题。
-
类型：
- 含有三个已知条件的两步计算应用题。
- 含有两个已知条件的两步计算应用题。
- 求比两个数的和多（少）几个数的应用题。
- 比较两数差与倍数关系的应用题。
-
解题方法：
- 解答连乘连除应用题。
- 解答三步计算的应用题。
- 解答小数计算的应用题。
-
答案：
加法和减法应用题
-
加法：
- 求总数：已知两个数，求它们的和。
- 求比一个数多几的数：已知一个数和它比另一个数多的量，求另一个数。
-
减法：
- 求剩余：从已知数中去掉一部分，求剩余部分。
- 求两个数相差多少：已知两个数，求它们的差距。
- 求比一个数少几的数：已知一个数和它比另一个数少的量，求另一个数。
乘法和除法应用题
-
乘法：
- 求相同加数和：已知相同加数和个数，求总数。
- 求一个数的几倍：已知一个数和它的倍数，求另一个数。
-
除法：
- 求每份多少：已知一个数和平均分成的份数，求每份的数量。
- 求包含几个数：已知一个数和每份的数量，求可以分成的份数。
- 求一个数是另一个数的几倍：已知两个数，求较大数是较小数的几倍。
- 已知一个数的几倍是多少，求这个数。
典型应用题
-
平均数问题：
- 平均数是等分除法的发展。
- 确定总数量和与之相对应的总份数。
- 算术平均数：数量之和÷数量的个数=算术平均数数量之和÷数量的个数=算术平均数。
- 加权平均数：(部分平均数×权数)的总和÷(权数的和)=加权平均数(部分平均数×权数)的总和÷(权数的和)=加权平均数。
-
差额平均数：
- 把大于或小于标准数的部分之和均分到总份数，求标准数与各数的关系。
常见数量关系
- 总价 = 单价 × 数量
- 路程 = 速度 × 时间
- 工作总量 = 工作时间 × 工效
- 总产量 = 单产量 × 数量
|
|
平均数问题
-
定义：求两个或多个数的平均值。
-
解题关键：确定总数量和与之相对应的总份数。
-
数量关系式：
- 算术平均数：(大数−小数)÷2=小数应得数(大数−小数)÷2=小数应得数
- 最大数与各数之差的和 ÷ 总份数 = 最大数应得数
- 最大数与个数之差的和 ÷ 总份数 = 最小数应得数
-
例子：汽车以不同速度往返于两地，求平均速度。
归一问题
-
定义：已知两个相互关联的量，其中一个量改变，另一个量也随之改变。
-
分类：
- 一次归一问题：一步运算求出单一量。
- 两次归一问题：两步运算求出单一量。
- 正归一问题：求出单一量后用乘法计算结果。
- 反归一问题：求出单一量后用除法计算结果。
-
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量，然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
-
数量关系式：
- 单一量 × 份数 = 总数量（正归一）
- 总数量 ÷ 单一量 = 份数（反归一）
-
例子：织布工人在一定天数内织布，求织布6930米需要多少天。
归总问题
-
定义：已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量，通过求总数量求得单位数量的个数。
-
特点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也跟着变化，但变化规律相反。
-
数量关系式：单位数量 × 单位个数 ÷ 另一个单位数量 = 另一个单位数量个数
-
例子：修水渠，原计划每天修800米，6天修完，实际4天修完，求每天修了多少米。
和差问题
-
定义：已知大小两个数的和及差，求这两个数各是多少。
-
解题关键：把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。
-
解题规律：
- (和+差)÷2=大数(和+差)÷2=大数
- 大数−差=小数大数−差=小数
- (和−差)÷2=小数(和−差)÷2=小数
-
例子：甲班和乙班共有工人94人，从乙班调46人到甲班后，乙班比甲班人数少12人，求原来各班人数。
和倍问题
- 定义：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少。
- 解题关键：找准标准数（即1倍数），求出倍数和之后，再求出标准的数量。
- 解题规律：
- 和÷(倍数+1)=标准数和÷(倍数+1)=标准数
- 标准数×倍数=另一个数标准数×倍数=另一个数
|
|
差倍问题
- 定义：已知两个数的差及倍数关系，求这两个数。
- 解题规律：两个数的差÷(倍数−1)=标准数两个数的差÷(倍数−1)=标准数，标准数×倍数=另一个数标准数×倍数=另一个数。
例子
- 甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，剪去同样长度后，甲剩余长度是乙绳长的3倍。
- 分析：甲绳剩余长度比乙绳多2倍，以乙绳的长度为标准数。
- 列式：(63−29)÷(3−1)=17(63−29)÷(3−1)=17（乙绳剩余长度），17×3=5117×3=51（甲绳剩余长度），29−17=1229−17=12（剪去的长度）。
行程问题
- 定义：关于走路、行车等计算路程、时间、速度的问题。
- 解题关键：理解速度、时间、路程、方向等概念及其关系。
- 解题规律：
- 相背而行：路程=速度和×时间路程=速度和×时间。
- 相向而行：相遇时间=路程÷(速度和)相遇时间=路程÷(速度和)。
- 同向而行（速度慢的在前）：追及时间=路程÷(速度差)追及时间=路程÷(速度差)。
例子
- 甲在乙后28千米，同向而行，甲每小时16千米，乙每小时9千米，求甲追上乙的时间。
- 分析：甲每小时比乙多行7千米，即速度差。
- 列式：28÷(16−9)=428÷(16−9)=4（小时）。
流水问题
- 定义：研究船在流水中航行的问题，考虑水速对顺行和逆行的影响。
- 概念：船速、水速、顺水速度、逆水速度。
- 解题规律：
- 顺速=船速+水速顺速=船速+水速。
- 逆速=船速−水速逆速=船速−水速。
- 船行速度=(顺水速度+逆流速度)÷2船行速度=(顺水速度+逆流速度)÷2。
- 流水速度=(顺流速度−逆流速度)÷2流水速度=(顺流速度−逆流速度)÷2。
例子
- 轮船从甲地到乙地顺水28千米/小时，逆水返回多2小时，水速4千米/小时，求距离。
- 列式：顺水时间28×2=2028×2=20（千米），逆水速度20−4×2=1220−4×2=12（千米/小时），40÷(4×2)=540÷(4×2)=5（小时），28×5=14028×5=140（千米）。
还原问题
- 定义：已知某未知数经过四则运算后的结果，求未知数。
- 解题方法：逆向运算，从结果推算原始数值。
|
|
差倍问题
- 定义：已知两个数的差及倍数关系，求这两个数。
- 解题规律：两个数的差÷(倍数−1)=标准数两个数的差÷(倍数−1)=标准数，标准数×倍数=另一个数标准数×倍数=另一个数。
例子
- 甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，剪去同样长度后，甲剩余长度是乙绳长的3倍。
- 分析：甲绳剩余长度比乙绳多2倍，以乙绳的长度为标准数。
- 列式：(63−29)÷(3−1)=17(63−29)÷(3−1)=17（乙绳剩余长度），17×3=5117×3=51（甲绳剩余长度），29−17=1229−17=12（剪去的长度）。
行程问题
- 定义：关于走路、行车等计算路程、时间、速度的问题。
- 解题关键：理解速度、时间、路程、方向等概念及其关系。
- 解题规律：
- 相背而行：路程=速度和×时间路程=速度和×时间。
- 相向而行：相遇时间=路程÷速度和相遇时间=路程÷速度和。
- 同向而行（速度慢的在前）：追及时间=路程÷速度差追及时间=路程÷速度差。
例子
- 甲在乙后28千米，同向而行，甲每小时16千米，乙每小时9千米，求甲追上乙的时间。
- 分析：甲每小时比乙多行7千米，即速度差。
- 列式：28÷(16−9)=428÷(16−9)=4（小时）。
流水问题
- 定义：研究船在流水中航行的问题，考虑水速对顺行和逆行的影响。
- 概念：船速、水速、顺水速度、逆水速度。
- 解题规律：
- 顺速=船速+水速顺速=船速+水速。
- 逆速=船速−水速逆速=船速−水速。
- 船行速度=(顺水速度+逆流速度)÷2船行速度=(顺水速度+逆流速度)÷2。
- 流水速度=(顺流速度−逆流速度)÷2流水速度=(顺流速度−逆流速度)÷2。
例子
- 轮船从甲地到乙地顺水28千米/小时，逆水多2小时，水速4千米/小时，求距离。
- 列式：28×2=5628×2=56，56÷(4×2)=756÷(4×2)=7（小时），(28+20)÷2=24(28+20)÷2=24（船速），24×7=16824×7=168（千米）。
还原问题
- 定义：已知某未知数经过四则运算后的结果，求未知数。
- 解题方法：逆向运算，从结果推算原始数值。
|
|
还原问题
- 解题关键：弄清每一步变化与未知数的关系，采用逆运算推导出原数。
- 解题规律：从最后结果出发，逆向运算，逐步推导出原数。
- 例子：四个班级调整学生后人数相等，求各班原有学生数。
- 分析：以四班为例，调出3人，调入2人，原有人数通过逆运算求得。
- 列式：168÷4−2+3=43168÷4−2+3=43（四班原有人数），同理可得其他班级人数。
植树问题
- 解题关键：判断地形，分清是否封闭图形，确定植树类型，使用公式计算。
- 解题规律：
- 沿线段植树：棵树=段数+1棵树=段数+1，株距=总路程÷(棵树−1)株距=总路程÷(棵树−1)。
- 沿周长植树：棵树=总路程÷株距棵树=总路程÷株距。
- 例子：沿公路埋电线杆，改装后电线杆数量变化，求新的间距。
- 列式：50×(301−1)÷(201−1)=7550×(301−1)÷(201−1)=75（米）。
盈亏问题
- 解题关键：求两次分配中每人所得物品数量的差，以及总差额，用总差额除以每人差额得人数。
- 解题规律：
- 总差额 ÷ 每人差额 = 人数。
- 总差额的求法根据具体情况而定。
- 例子：美术小组分色笔，不同人数下的盈亏情况。
- 分析：根据两次分配的盈亏情况，求得每人分得色笔数。
- 列式：(25−5)÷(12−10)=10(25−5)÷(12−10)=10（支/人），10×12+5=12510×12+5=125（总支数）。
年龄问题
- 解题关键：利用年龄差不变的特性，解决与年龄相关的问题。
- 特点：随着时间变化，年龄增加，但两个人的年龄差保持不变。
- 例子：父亲和儿子的年龄，求几年前父亲的年龄是儿子的4倍。
- 分析：利用年龄差不变，通过逆运算求得几年前的情况。
|
|
年龄问题
- 例子：父亲48岁，儿子21岁，求几年前父亲的年龄是儿子的4倍。
- 分析：父子年龄差为27岁，倍数差为3倍。
- 列式：(21×(48−21))÷(4−1)=12(21×(48−21))÷(4−1)=12（年前）。
鸡兔问题
- 定义：已知总头数和总腿数，求鸡和兔各多少只。
- 解题关键：采用假设法，假设全是鸡或全是兔，根据腿数差推算。
- 解题规律：
- (总腿数−2×总头数)÷2=兔的只数(总腿数−2×总头数)÷2=兔的只数。
- (4×总头数−总腿数)÷2=鸡的只数(4×总头数−总腿数)÷2=鸡的只数。
例子
- 鸡兔同笼共50个头，170条腿。
- 列式：(170−2×50)÷2=35(170−2×50)÷2=35（兔的只数），50−35=1550−35=15（鸡的只数）。
分数和百分数的应用
-
分数加减法：
-
分数乘法：
- 求一个数的几分之几。
- 解题关键：找准单位“1”的量和对应的分率。
-
分数除法：
- 求一个数是另一个数的几分之几。
- 解题关键：确定标准量和比较量，使用除法。
-
出勤率、发芽率、出粉率等：
- 率=部分数量总数量×100%率=总数量部分数量×100%。
工程问题
- 定义：探讨工作总量、工作效率和工作时间的关系。
- 解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率为工作时间的倒数，根据具体情况灵活运用公式。
|
|
工程问题
- 工作总量 = 工作效率 × 工作时间
- 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
- 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率
- 合作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率和
纳税
利息
常用数量关系式
- 每份数 × 份数 = 总数
- 总数 ÷ 每份数 = 份数
- 总数 ÷ 份数 = 每份数
- 1倍数 × 倍数 = 几倍数
- 几倍数 ÷ 1倍数 = 倍数
- 几倍数 ÷ 倍数 = 1倍数
- 速度 × 时间 = 路程
- 路程 ÷ 速度 = 时间
- 路程 ÷ 时间 = 速度
- 单价 × 数量 = 总价
- 总价 ÷ 单价 = 数量
- 总价 ÷ 数量 = 单价
- 加数 + 加数 = 和
- 和 - 一个加数 = 另一个加数
- 被减数 - 减数 = 差
- 被减数 - 差 = 减数
- 差 + 减数 = 被减数
- 因数 × 因数 = 积
- 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数
- 被除数 ÷ 除数 = 商
- 被除数 ÷ 商 = 除数
- 商 × 除数 = 被除数
- 总数 ÷ 总份数 = 平均数
和差问题公式
- (和 + 差) ÷ 2 = 大数
- (和 - 差) ÷ 2 = 小数
和倍问题
- 和 ÷ (倍数 - 1) = 小数
- 小数 × 倍数 = 大数
差倍问题
- 差 ÷ (倍数 - 1) = 小数
- 小数 × 倍数 = 大数
- (或) 小数 + 差 = 大数
相遇问题
- 相遇路程 = 速度和 × 相遇时间
- 相遇时间 = 相遇路程 ÷ 速度和
- 速度和 = 相遇路程 ÷ 相遇时间
浓度问题
- 溶质重量 + 溶剂重量 = 溶液重量
- 溶质重量 ÷ 溶液重量 × 100% = 浓度
- 溶液重量 × 浓度 = 溶质重量
- 溶质重量 ÷ 浓度 = 溶液重量
利润与折扣问题
- 利润 = 售出价 - 成本
- 利润率 = (利润 ÷ 成本) × 100% = ((售出价 ÷ 成本) - 1) × 100%
- 涨跌金额 = 本金 × 涨跌百分比
- 利息 = 本金 × 利率 × 时间
- 税后利息 = 本金 × 利率 × 时间 × (1 - 20%)
|
|
一、概述
- 量的定义：事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等可测定的客观特征。
- 计量：将待测的量与标准的量进行比较。
- 计量单位：作为计量标准的量。
- 名数：数加上单位名称，如5小时，3千克。
- 单名数：只带有一个单位名称，例如5小时，3千克。
- 复名数：带有两个或以上单位名称，例如5小时6分，3千克500克。
- 名数转化：
- 单名数转化为单名数，例如56平方分米 = 0.56平方米。
- 单名数转化为复名数，例如560平方分米 = 5平方米60平方分米。
二、长度
- 定义：一维空间的度量。
- 常用单位：公里(km)、米(m)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)、微米(μm)。
- 单位换算：
- 1毫米 = 1000微米
- 1厘米 = 10毫米
- 1分米 = 10厘米
- 1米 = 1000毫米
- 1千米 = 1000米
三、面积
- 定义：物体所占平面的大小，立体物体表面的大小称为表面积。
- 常用单位：平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、平方千米。
- 单位换算：
- 1平方厘米 = 100平方毫米
- 1平方分米 = 100平方厘米
- 1平方米 = 100平方分米
- 1公顷 = 10000平方米
- 1平方公里 = 100公顷
四、体积和容积
- 定义：
- 体积：物体所占空间的大小。
- 容积：容器所能容纳物体的体积。
- 常用单位：
- 体积单位：立方米、立方分米、立方厘米。
- 容积单位：升、毫升。
- 单位换算：
- 体积单位：
- 1立方米 = 1000立方分米
- 1立方分米 = 1000立方厘米
- 容积单位：
- 1升 = 1000毫升
- 1升 = 1立方米
- 1毫升 = 1立方厘米
五、质量
- 定义：表示物体的重量。
- 常用单位：吨(t)、千克(kg)、克(g)。
|
|
五、质量（续）
六、时间
- 定义：指有起点和终点的一段时间。
- 常用单位：世纪、年、月、日、时、分、秒。
- 单位换算：
- 1世纪 = 100年。
- 平年一年365天，闰年一年366天。
- 1年12个月，大月有31天，小月有30天，平年2月28天，闰年2月29天。
- 闰年判定：年份是4的倍数，整百年份须是400的倍数。
- 1天 = 24小时，1小时 = 60分，1分 = 60秒。
七、货币
- 定义：充当商品等价物的特殊商品，可购买任何别的商品。
- 常用单位：元、角、分。
- 单位换算：
常用单位换算
1. 长度单位换算
- 1千米 = 1000米
- 1米 = 10分米
- 1分米 = 10厘米
- 1米 = 100厘米
- 1厘米 = 10毫米
2. 面积单位换算
- 1平方千米 = 100公顷
- 1公顷 = 10000平方米
- 1平方米 = 100平方分米
- 1平方分米 = 100平方厘米
- 1平方厘米 = 100平方毫米
3. 体积和容积单位换算
- 1立方米 = 1000立方分米
- 1立方分米 = 1000立方厘米
- 1立方分米 = 1升
- 1立方厘米 = 1毫升
- 1立方米 = 1000升
4. 重量单位换算
- 1吨 = 1000千克
- 1千克 = 1000克
- 1千克 = 1公斤
5. 人民币单位换算
- 1元 = 10角
- 1角 = 10分
- 1元 = 100分
6. 时间单位换算
- 1世纪 = 100年
- 1年 = 12个月，大月31天，小月30天
- 平年2月28天，闰年2月29天
- 平年全年365天，闰年全年366天
- 1日 = 24小时
- 1时 = 60分
- 1分 = 60秒
- 1时 = 3600秒
第三章 代数初步知识
一、用字母表示数
- 意义和作用：简化数量关系的表达，表示运算结果，体现代数的基本特点。
- 表示常见数量关系：
- 路程（s）、速度（v）、时间（t）之间的关系：
- s=vts=vt
- v=stv=ts
- t=svt=vs
|
|
第三章 代数初步知识
一、用字母表示数
1. 数量关系表示
- 总价 aa，单价 bb，数量 cc 之间的关系： a=bc,b=ac,c=aba=bc,b=ca,c=ba
(2) 运算定律和性质
- 加法交换律：a+b=b+aa+b=b+a
- 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)
- 乘法交换律：ab=baab=ba
- 乘法结合律：(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)
- 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc(a+b)c=ac+bc
- 减法的性质：a−(b+c)=a−b−ca−(b+c)=a−b−c
(3) 用字母表示几何形体的公式
-
长方形：
- 长 aa，宽 bb，周长 cc，面积 ss： c=2(a+b),s=abc=2(a+b),s=ab
-
正方形：
- 边长 aa，周长 cc，面积 ss： c=4a,s=a2c=4a,s=a2
-
平行四边形：
- 底 aa，高 hh，面积 ss： s=ahs=ah
-
三角形：
- 底 aa，高 hh，面积 ss： s=ah2s=2ah
-
梯形：
- 上底 aa，下底 bb，高 hh，中位线 mm，面积 ss： s=(a+b)h2,s=mhs=2(a+b)h,s=mh
-
圆：
- 半径 rr，直径 dd，周长 cc，面积 ss： c=πd=2πr,s=πr2c=πd=2πr,s=πr2
-
扇形：
- 半径 rr，圆心角 nn，面积 ss： s=nπr2360s=360nπr2
-
长方体：
- 长 aa，宽 bb，高 hh，表面积 ss，体积 vv： v=sh,s=2(ab+ah+bh),v=abhv=sh,s=2(ab+ah+bh),v=abh
-
正方体：
- 棱长 aa，底面周长 cc，底面积 ss，体积 vv： s=6a2,v=a3s=6a2,v=a3
-
圆柱：
- 高 hh，底面周长 cc，底面积 ss，体积 vv： s侧=ch,s表=s侧+2s底,v=shs侧=ch,s表=s侧+2s底,v=sh
-
圆锥：
- 高 hh，底面积 ss，体积 vv： v=sh3v=3sh
三、用字母表示数的写法
- 乘号可记作“.”，或省略。
- “1”与任何字母相乘时，“1”省略。
- 数字写在字母前面。
- 同一字母表示同一量，不同量用不同字母。
四、简易方程
- 等式：表示相等关系的式子。
- 方程：含有未知数的等式。
|
|
定义与概念
- 方程：含有未知数的等式。
- 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
- 解方程：求方程的解的过程。
解方程的方法
- 直接运用四则运算中各部分之间的关系。
- 先把含有未知数的项看作一个数，然后再解。
- 按四则运算顺序先计算，使方程变形，然后再解。
- 利用运算定律或性质，使方程变形，然后再解。
列方程解应用题
-
意义：用方程式解答应用题，求未知量的方法。
-
步骤：
- 弄清题意，确定未知数并用字母表示。
- 找出题中的数量之间的相等关系。
- 列方程，解方程。
- 检查或验算，写出答案。
-
方法：
- 综合法：从部分到整体，从已知到未知。
- 分析法：从整体到部分，从未知到已知。
-
应用范围：
- 一般应用题。
- 和倍、差倍问题。
- 几何形体的周长、面积、体积计算。
- 分数、百分数应用题。
- 比和比例应用题。
比和比例
1. 比的意义和性质
- 比是表示两个数相除的关系。
- 比的前项相当于被除数，后项相当于除数。
2. 比例
3. 比例的性质
- 比例的基本性质：在比例中，两外项的积等于两内项的积。
|
|
比的意义和性质
- 比的定义：两个数相除的关系称为比。
- 比值：比的前项除以后项得到的商。
- 比值表示：通常用分数表示，也可以用小数或整数。
- 比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
求比值和化简比
- 求比值方法：用比的前项除以后项。
- 化简比：根据比的基本性质，化成最简单的整数比，前、后项互质。
比例尺
- 定义：图上距离与实际距离的比。
- 应用：求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
- 线段比例尺：图上附有注有数目的线段，表示实际距离。
按比例分配
- 定义：把一个数量按一定比例进行分配。
- 方法：先求出各部分占总量的比例，再求出总数的相应比例。
比例的意义和性质
- 比例的定义：表示两个比相等的式子。
- 比例的项：组成比例的四个数，两端的两项为外项，中间的两项为内项。
- 比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。
解比例
- 定义：根据比例的基本性质，求出比例中的未知项。
正比例和反比例
- 正比例：两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量成正比例关系。
- 反比例：两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量成反比例关系。
比和比例应用题
- 按比例分配：在生产和生活中，按一定比例分配数量。
- 解题策略：找准分配总量和分配比，转化为分数或份数进行解答。
- 正、反比例应用题：审题，找出相关联的两个量，判断比例关系，解题。
|
|
比例的解题步骤
- 设未知数：设定比例中的未知数。
- 列比例式：根据题意列出比例式。
- 解比例式：通过计算求解比例式。
- 检验：验证求解结果的正确性。
- 写答语：根据解题结果写出答案。
第四章 几何的初步知识
一、线和角
1. 线
- 直线：没有端点，长度无限，过两点只能画一条直线。
- 射线：只有一个端点，长度无限。
- 线段：有两个端点，长度有限，两点间最短连线。
- 平行线：在同一平面内不相交的两条直线。
- 垂线：两条直线相交成直角时，一条直线是另一条的垂线。
2. 角
- 角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形。
- 角的分类：
- 锐角：小于90°的角。
- 直角：等于90°的角。
- 钝角：大于90°而小于180°的角。
- 平角：角的两边成一条直线，角度为180°。
- 周角：角的一边旋转一周与另一边重合，角度为360°。
二、平面图形
1. 三角形
- 特征：由三条线段围成，内角和为180度，具有稳定性。
- 计算公式：s=ah2s=2ah（三角形面积）
- 分类：
- 按角分：
- 锐角三角形：三个角都是锐角。
- 直角三角形：有一个角是直角。
- 钝角三角形：有一个角是钝角。
- 按边分：
- 不等边三角形：三条边长度不相等。
- 等腰三角形：有两条边长度相等。
- 等边三角形：三条边长度都相等，三个内角都是60度。
2. 四边形
|
|
第四章 几何的初步知识
二、平面图形（续）
1. 四边形
- 任意四边形的内角和：360度。
- 梯形：只有一组对边平行的四边形。
- 平行四边形：两组对边分别平行的四边形，包括长方形、正方形。
- 长方形：
- 特征：对边相等，四个角都是直角。
- 计算公式：周长 c=2(a+b)c=2(a+b)，面积 s=abs=ab。
- 正方形：
- 特征：四条边都相等，四个角都是直角。
- 计算公式：周长 c=4ac=4a，面积 s=a2s=a2。
- 平行四边形：
- 特征：对边平行且相等，对角相等。
- 计算公式：面积 s=ahs=ah。
- 梯形：
- 特征：只有一组对边平行。
- 计算公式：面积 s=(a+b)h2=mhs=2(a+b)h=mh。
2. 圆
- 圆心：圆中心的一点，通常用字母 OO 表示。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用 rr 表示。
- 直径：通过圆心且两端都在圆上的线段，通常用 dd 表示。
- 特征：圆的大小由半径决定，圆有无数条对称轴。
- 画法：使用圆规，定好半径，固定圆心，旋转一周。
- 周长（圆周率）：围成圆的曲线的长度，用 ππ 表示。
- 面积：圆所占平面的大小。
计算公式：
- 直径 d=2rd=2r
- 半径 r=d2r=2d
- 周长 c=πd=2πrc=πd=2πr
- 面积 s=πr2s=πr2
3. 扇形
- 定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。
- 特征：顶点在圆心的角叫做圆心角，扇形有一条对称轴。
- 计算公式：面积 s=nπr2360s=360nπr2
4. 环形
|
|
环形
- 特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。
- 计算公式：面积 s=π(R2−r2)s=π(R2−r2)。
轴对称图形
- 特征：
- 如果一个图形沿一条直线对折，两侧图形能完全重合，则该图形是轴对称图形。
- 折痕所在的直线是对称轴。
- 常见图形的对称轴条数：
- 正方形：4条
- 长方形：2条
- 等腰三角形：2条
- 等边三角形：3条
- 等腰梯形：1条
- 圆：无数条
- 菱形：4条
- 扇形：1条
三、立体图形
(一) 长方体
- 特征：
- 六个面都是长方形，有时相对的面是正方形。
- 相对的面相等，12条棱中相对的4条棱长度相等。
- 8个顶点。
- 长、宽、高是相交于一个顶点的三条棱的长度。
- 计算公式：
- 表面积 S=2(ab+ah+bh)S=2(ab+ah+bh)
- 体积 V=sh=abhV=sh=abh
(二) 正方体
- 特征：
- 六个面都是相等的正方形。
- 12条棱的长度都相等。
- 8个顶点。
- 可看作特殊的长方体。
- 计算公式：
- 表面积 S表=6a2S表=6a2
- 体积 V=a3V=a3
(三) 圆柱
- 特征：
- 两个底面是圆。
- 侧面是曲面。
- 高是两个底面之间的距离。
- 计算公式：
- 侧面积 S侧=chS侧=ch
- 表面积 S表=S侧+2S底S表=S侧+2S底
- 体积 V=sh3V=3sh
(四) 圆锥
- 特征：
- 底面是圆。
- 侧面是曲面。
- 从顶点到底面圆心的距离是高。
- 计算公式：
|
|
圆锥
- 特征：侧面展开是一个扇形。
- 计算公式：体积 V=13πr2hV=31πr2h。
球
- 特征：
- 球的表面是一个曲面，称为球面。
- 球心用 OO 表示。
- 半径 rr 是从球心到球面上任意一点的线段。
- 直径 dd 是通过球心且两端都在球面上的线段，长度是半径的两倍，即 d=2rd=2r。
- 计算公式：直径 d=2rd=2r。
四、周长和面积
- 周长：平面图形一周的长度。
- 面积：平面图形或物体表面的大小。
小学数学图形计算公式
-
正方形：
- 周长 C=4aC=4a。
- 面积 S=a2S=a2。
-
正方体：
- 表面积 S表=6a2S表=6a2。
- 体积 V=a3V=a3。
-
长方形：
- 周长 C=2(a+b)C=2(a+b)。
- 面积 S=abS=ab。
-
长方体：
- 表面积 S=2(ab+ah+bh)S=2(ab+ah+bh)。
- 体积 V=abhV=abh。
-
三角形：
-
平行四边形：
-
梯形：
- 面积 S=12(a+b)hS=21(a+b)h。
-
圆形：
- 周长 C=πd=2πrC=πd=2πr。
- 面积 S=πr2S=πr2。
-
圆柱体：
- 侧面积 S侧=chS侧=ch。
- 表面积 S表=S侧+2πr2S表=S侧+2πr2。
- 体积 V=πr2hV=πr2h。
-
圆锥体：
|
|
第五章 简单的统计
一、统计表
(一) 意义
- 统计表是把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题。
(二) 组成部分
- 表格外部分：包括标题名称、单位说明和制表日期。
- 表格内部：包括表头、横标目、纵标目和数据。
(三) 种类
- 单式统计表：只含有一个项目的统计表。
- 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
- 百分数统计表：表明各统计项目的具体数量及相对于标准量的百分比。
(四) 制作步骤
- 搜集数据
- 整理数据：根据制表目的和内容，对数据进行分类。
- 设计草表：设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏的格数和长度。
- 正式制表：填入核对过的数据，写上统计表的名称和制表日期。
二、统计图
(一) 意义
- 统计图是用点、线、面积等图形元素表示相关量之间的数量关系的图形。
(二) 分类
-
条形统计图
- 用一个单位长度表示一定的数量，画成长短不同的直条，然后按一定顺序排列。
- 优点：容易看出各种数量的多少。
- 注意：直条宽窄必须相同，单位长度表示的数量根据具体情况确定。
- 制作步骤：
- 画出两条互相垂直的射线。
- 在水平射线上分配条形位置，确定宽度和间隔。
- 在垂直射线上确定单位长度表示的数量。
- 按数据大小画出直条，并注明数量。
-
折线统计图
- 用一个单位长度表示一定的数量，描出各点，然后将各点用线段顺次连接。
- 优点：可以表示数量的多少，也能清楚地表示数量增减变化的情况。
|
|
制作折线统计图的一般步骤：
- 画射线：根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
- 分配位置：在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。
- 确定单位长度：在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示的数量。
- 描点连线：按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。
- 注意事项：当横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。
扇形统计图
- 定义：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
- 优点：清楚地表示出各部分与总数之间的关系。
- 制作步骤：
- 计算比例：先算出各部分数量占总量的百分比。
- 计算圆心角度数：再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。
- 画圆画扇形：取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。
- 标注：在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。
|
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
