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《编程之美》读书笔记10： 2.18 数组分割 如果直接遍历，则至少要遍历 Cr(n-1,2*n)次（Cr(m,n)为从n个数中取m个数的组合数），为了减少遍历次数，可以先对数组排序。再将所有可能的组合大致分成几组，每个组的数组和也是升序的，通过不断的分组、查找，确定上下边界条件，最终找到所求子数组。 如果数组各个元素均不相同，可以采用下面的算法： 先将数组{ai}排序，并计算出各元素的总和的一半S(=Sum/2.0)，（对数组的划分时，可以先选中a0，再取n-1个数）。 假设Ti=sum(a0+ai+an+2+an+3…+a2n-1) (0<i<=n+1) 则数组{Ti}也是升序 阅读全文
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《编程之美》读书笔记17： 2.16 求数组中最长递增子序列 思路：每处理一个数，都可以将这个数插入到已经找到的某个递增子序列（假设包含无限个长度为0的空序列）后，使其长度增加1，处理完毕后，这些长度最大值即为所求。 具有相同长度i+1的递增子序列，若这些序列的最后一个数最小值为min_v[i]，其所在的序列为A，则若某个数能插入到序列A后面，必然能插入到其它相同长度的递增子序列后面，而能否插入到序列A后面，仅由min_v[i]值决定，因而只要维护min_v[i]值就够了。 当前数必然可以插入到某个长度为j（0<=j<=len， len为已找到的最长递增子序列长度）的序列后，使得旧 阅读全文
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《编程之美》读书笔记07： 2.5 寻找最大的K个数 问题： 从n个数中找出最大的k个数。 两种思路： 1 保存目前找到的最大k个数，每访问一个数，就与这k个数中的最小值比较，决定是否更新这k个数。储存k个数的数据结构可采用：败者树、二叉查找树、最小堆。 C++ STL提供了multiset和priority_queue容器，另外还提供了make_heap，push_heap，pop_heap方便手动构建堆结构。（测试发现，手工建堆的效率最高，当n和k增大到一定值时，采用红黑树的multiset的效率极差。手动建堆的效率相比priority_queue有略微提高。） 2 修改排序方法，去除不. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记08：2.9 Fibonacci序列 计算Fibonacci序列最直接的方法就是利用递推公式 F(n+2)=F(n+1)+F(n)。而用通项公式来求解是错误的，用浮点数表示无理数本来就有误差，经过n次方后，当n相当大时，误差能足够大到影响浮点数转为整数时的精度，得到的结果根本不准。 用矩阵来计算，虽然时间复杂度降到O(log n)，但要用到矩阵类，相当麻烦。观察： F(n+2)=F(n)+F(n-1)＝2*F(n-1)+F(n-2)=3*F(n-2)+2*F(n-4) 用归纳法很容易证明 F(n) = F(k)*F(n+1-k) + F(k-1)*F(n-k)，利用该递推公 阅读全文
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《编程之美》读书笔记21： 2.4 1的数目 问题： 给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有整数， 然后数一下其中出现的所有“1”的个数。 例如： N=2，写下 1，2。这样只出现了 1 个“1”。 N=12，我们会写下 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。这样 1 的个数是 5。 1. 写一个函数f(N)，返回1到N之间出现的“1”的个数,比如f(12)=5。 2. 在32位整数范围内，满足条件“f(N)= N”的最大的N是多少？ 曾在ChinaUnix论坛上看到该题，记得是google的面试题，有个网友给出了不错的解法，但他给出的证明倒是. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记22： 1.16 24点游戏（补充） 给定n个数，能否只通过加减乘除计算得到24？ 书上给出的最后一种解法，通过使用集合记录中间结果来减少冗余计算。本以为，程序会占用大量的内存，用一个极端的例子（13, 773, 28, 98, 731, 1357,97357246这7个数）测试了一下实现的程序，发现程序竟然占用了1G以上的内存（无论集合的实现采用STL中的set还是unordered_set），但后来，取7个均在1到13之间的数，再重新测试了下发现，程序所占用的内存比想像的小的多，也就几兆。 对数值都在1到13之间的n个数的所有组合进行判断。在n等于4时，实现的程序约过. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记06： 1.13 NIM(3)两堆石头的游戏 问题： 假设有两堆石子，两人轮流取石子，每次可以从一堆取任意个石子，或者从两堆取相等数量的任意个石子，但不能不取。 若先把石子取光的一方为胜方，先取者有什么必胜策略？ 若先把石子取光的一方为输方，先取者的策略要进行怎样调整？ 记得初中时在学校门口的书店，买到一本《智力游戏中的数学方法》，当时如获至宝。书中提到一个“皇后登山”游戏，就是在空的围棋棋盘上放一个棋子，该棋子每次只能向上或向右或沿对角线向右上方向移动（和国际象棋中的皇后移动相似），可以移动任意格，但不能不移动，两人轮流移动棋子，先将棋子移动到右上角者赢，问先移棋者的必胜 阅读全文
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《编程之美》读书笔记22： 1.16 24点游戏 给定4个数，能否只通过加减乘除计算得到24？由于只有4个数，弄个多重循环，就可以。如果要推广到n个数，有两种思路： ① 采用前缀/后缀表达式。相当于将n个数用n-1个括号括起来，其数目就是一个catlan数。最多可得到 f(n) = (1/n * (2*n - 2)! / (n-1)! / (n-1)!) * n! * 4^(n-1) = 4^(n-1) * (2*n-2)! / (n-1)! 种表达式，当n=4时，共可得到 7680种。 ② 从n个数中任意抽取2个，进行计算最多有6种结果，将计算结果放回去，再从剩下的n-1个任取2个，进行计. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记05： 1.9 高效率的安排见面会 扩展问题一： 实际上就是求区间的最大重叠次数。书上P57的算法，比较巧妙，但要注意的是：排序时要用到双关键字比较，当两个值相等时，属于时间段开始的一定要排在属于时间段结束的后面，只有这样才能保证结果的正确性。（假设[3, 4）和[4, 5)能在同一个地方举行。书上区间段都是用闭区间，本文采用前闭后开。） 考虑到面试安排的时间一般安排在某个整点、半点或者某刻，可以采用计数的方法，如果都安排在整点，每处理一个区间[a, b)，就对[a, b)间的所有整数计数一次。最后从计数结果中找出最大值即可。时间复杂度为O(n)（准确的讲，应该是O(k*. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记04： 1.8 小飞的电梯调度算法 假设电梯有n层，上楼要消耗能量k1，下楼要消耗能量k2，用a[i]表示要在第i层下的人数，Si为到i层时已经下（包括i层）的总人数，则总人数S=Sn。若用F(i)表示电梯在i层停时要消耗的总能量，则电梯在i+1层停时，有Si人要多下一层，（S-Si）人少上一层。则： F(i+1) = F(i) + k2*Si - k1*(S-Si) = F(i) + (k2+k1)*Si – k1*S ＝ F(i) + G(i) （定义G(i) = (k2+k1)*Si – k1*S） 由于Si是递增的，G(i)也是递增的，当G(i) <= 0，F 阅读全文