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输出和为n的所有的连续自然数序列 如 n = 9： 9 4 5 2 3 4 《编程之美》的题目（2.21只考加法的面试题），去年曾经写过本题的代码，后来不知道把代码放哪里了。按以前的思路，重写了下代码，写完后翻了下书，结果发现与书上要求的还不一样。 假设，拆分成的数列为：m, m+1, … m+k-1 则 n = (m + m + k - 1) * k / 2或 2*n = (2*m + k - 1) * k 显然就是求2*n的所有因子，最简单的方法就是暴力搜索： 对公式2*n = (2*m + k - 1) * k 进行转变，可得下面几种方法： 方法一： 2*m + k – 1 = 2 *. 阅读全文
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问题： 输出自然数n的所有因子假设 n = i * j(i <= j) ， k = j – i >= 0 思路一： j = n / i>=i( 注意：i – int(n / i) 随着i的增大而增大，int(n/i)指n/i的整数部份)从i = 1 开始判断 i 是否能被n整除，当int(n / i) < i 时终止思路二：n = i * (i + k)=>k = (n – i * i) / i>= 0=> k = m / i >= 0 （设m = n – i * i）从i = 1 开始判断 i 是否能被m整除，当m < 0（即k < 阅读全文
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问题：求1到n这n个整数间的异或值，即 1 xor 2 xor 3 ... xor n 记 f(x, y) 为x到y的所有整数的异或值。 对 f(2^k, 2^(k+1) -1) (注意文章中的 ^ 表示的是“幂”，xor 表示“异或”，or 表示“或”)： 2^k 到 2^(k+1) -1 这2^k个数，最高位（+k位）的1个数为2^k， 若 k >= 1，则2^k为偶数，将这2^k个数的最高位(+k位)去掉，异或值不变。 因而 f(2^k, 2^(k+1) -1) = f(2^k - 2^k, 2^(k+1) -1 -2^k) = f(0, 2^k -1) 因而 f(0, 2^(k+ 阅读全文
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又一次看到讨论“洗牌”算法的文章，奇怪不少人喜欢造轮子，但造的轮子却远没有STL的random_shuffle好用。 “洗牌”算法： 若某个序列里面的每个元素在每个位置已经等概率出现，那么新增加一个元素，只要新增加的元素和所有元素进行等概率交换，则新序列中每个元素在每个位置仍是等概率出现。 （若原来有n个元素，新增加的第n+1个元素在任一位置b的概率显然是1/(n+1)，在同一位置b，原来的n个元素在该位置仍是等概率出现的，出现的概率为(1-1/(n+1))/n = 1/(n+1)。 也可以这样算：进行随机交换前，原来的某个元素在某个位置出现的概率为1/n，被交换的概率为1/(n+1)，因而. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记15： 4.5 磁带文件存放优化 对一个已经是最优解的排列，记第i个文件的长度为Bi，被访问概率为Ai。如果交换第i个和第i+1个文件，则平均长度一定不会变小，交换后，访问原第i个文件时，要多访问一个原第i+1文件，长度增加了Ai*Bi+1，而访问原第i+1个文件时，要少访问一个原第i个文件，长度减少了Ai+1*Bi，而访问这两个文件之前和之后的文件，长度没有改变，故有： Ai*Bi+1 - Ai+1*Bi >=0 即Ai/Bi >= Ai+1/Bi+1， 由于i可以任意取，因而A0/B0 >= A1/B1 >= A2/B2 >= … > 阅读全文
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《编程之美》读书笔记14： 4.4 是否在三角形内 对几何题目，常用到矢量。若P点在三角形内部，则矢量PA沿时钟某个方向三次旋转分别经过PB、PC再回到PA，每次旋转角度都不会超过180度。即PA×PB、PB×PC和PC×PA这三个矢量积应该都为正，或都为负。如果P在三角形边上，则这三个矢量积应该一个为0，其它两个同正或同负。若在三角形某个顶点，则三个矢量积，必有两个为0，一个不为0。若A B C三点共线，P在这直线上，则所有矢量积均为0，若P不在这直线上，则为两正一负或两负一正。 structPoint{doublex;doubley;};staticintdi 阅读全文
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《编程之美》读书笔记13： 4.1 金刚坐飞机问题 问题： 现在有一班飞机将要起飞，乘客们正准备按机票号码（1, 2, 3, …N）依次排队登机。突然来了一只大猩猩（对，他叫金刚）。他也有飞机票，但是他插队第一个登上了飞机，然后随意地选了一个座位坐下了1。根据社会的和谐程度，其他的乘客有两种反应： 1. 乘客们都义愤填膺，“既然金刚同志不遵守规定，为什么我要遵守？”他们也随意地找位置坐下，并且坚决不让座给其他乘客。 2. 乘客们虽然感到愤怒，但还是以“和谐”为重，如果自己的位置没有被占领，就赶紧坐下，如果自己的位置已经被别人（或者金刚同志）占了，就随机地选择另一个位置坐下，并开始闭目养神，不再 阅读全文
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《编程之美》读书笔记19： 3.9 重建二叉树 对根节点a以及先序遍历次序P和中序遍历次序I，查找a在I中的位置，将I分为两部分，左边部分的元素都在a的左子树上，右边的元素都在a的右子树上，因而可以确定a的左子树节点数和a的右子树节点数，再结合P，可以确定a的左孩子和右孩子，以及各个孩子的先序和中序遍历次序。 由于已经知道节点数，可以事先分配好内存，可以按先序遍历次序连续存放节点。 rebuild_tree_1structNode{Node*left;Node*right;chardata;};voidrebuild(charpreorder[],charinorder[],Noderesu. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记16： 3.10 分层遍历二叉树 看到Milo写的这篇文章，又翻了下书，发现书的代码（P253）有个瑕疵，每个节点值后面都会显示一个空格，如果将间隔字符改为“-”，输出的每行最后都有一个“-”，不能达到要求。不过，只要将 cout << vec[cur] -> data << " "; 这行改为： if (cur==last-1) cout << vec[cur] -> data << "\n"; else cout << vec[cur] -> data 阅读全文
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《编程之美》读书笔记12： 3.8 求二叉树中节点的最大距离 问题： 如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义"距离"为两节点之间边的个数。写一个程序求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。 实际上就是求树的直径。若采用“动态规划方法”思想，会将该问题分解成“具有最大距离两点间的路径是否经过根节点”两个子问题，然后再对这两个子问题求解判断。实际上，不必这么麻烦。距离最远的两点必然在以某个节点A为根的子树上，它们间的路径必然经过该子树的根节点A。因而，以任意一个节点B为根的子树，计算出经过该子树根节点B的最大距离，则所有最大距离的最大值就是 阅读全文
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《编程之美》读书笔记11： 3.3 计算字符串的相似度 很经典的可使用动态规划方法解决的题目，和计算两字符串的最长公共子序列相似。 设Ai为字符串A(a1a2a3 … am)的前i个字符（即为a1,a2,a3 … ai） 设Bj为字符串B(b1b2b3 … bn)的前j个字符（即为b1,b2,b3 … bj） 设 L(i , j)为使两个字符串和Ai和Bj相等的最小操作次数。 当ai等于bj时 显然L(i, j)=L(i-1, j-1) 当ai不等于bj时 若将它们修改为相等，则对两个字符串至少还要操作L(i-1, j-1)次 若删除ai或在Bj后添加ai，则对两个字符串至少还要操作L(i-. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记18： 3.7 队列中取最大数操作问题 若不使用C++新标准的右值引用，DeQueue的实现是低效的，因为要返回的元素只能通过赋值操作，而不能通过引用。（书上的实现代码，竟然少了对EnQueue的实现！） 思路：用一个辅助队列来记录最大元素（为节省空间，只记录其地址），当有一个元素入队，就将辅助队列尾端不大于该元素的全部出队后（注意相等的也要出队），再将该元素压入辅助队列，这样就保证，辅助队列从头到尾的元素是递减的，辅助队列头元素是当前队列的最大值。当有一个元素出队时，就与辅助队列的头部第一个元素所指的元素比较，如果是同一个元素（注意不是相等），辅助队列头部就执行出队操作. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记09： 2.17 数组循环移位 对长度为n的数组(ab)左移k位，最直接的方法，就是用stl的rotate函数（stl针对三种不同的迭代器，提供了三个版本的rotate）。但在某些情况下，用stl的rotate效率极差。 对数组循环，可以采用的方法有： ① 动态分配一个同样长度的数组，将数据复制到该数组并改变次序，再复制回原数组。 ② 利用ba=(br)r(ar)r=(arbr)r，通过三次反转字符串。 ③ 分组交换（尽可能使数组的前面连续几个数为所要结果）： 若a长度大于b，将ab分成a0a1b，交换a0和b，得ba1a0，只需再交换a1 和a0。 若a长度小于b，将a. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记10： 2.18 数组分割 如果直接遍历，则至少要遍历 Cr(n-1,2*n)次（Cr(m,n)为从n个数中取m个数的组合数），为了减少遍历次数，可以先对数组排序。再将所有可能的组合大致分成几组，每个组的数组和也是升序的，通过不断的分组、查找，确定上下边界条件，最终找到所求子数组。 如果数组各个元素均不相同，可以采用下面的算法： 先将数组{ai}排序，并计算出各元素的总和的一半S(=Sum/2.0)，（对数组的划分时，可以先选中a0，再取n-1个数）。 假设Ti=sum(a0+ai+an+2+an+3…+a2n-1) (0<i<=n+1) 则数组{Ti}也是升序 阅读全文
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《编程之美》读书笔记17： 2.16 求数组中最长递增子序列 思路：每处理一个数，都可以将这个数插入到已经找到的某个递增子序列（假设包含无限个长度为0的空序列）后，使其长度增加1，处理完毕后，这些长度最大值即为所求。 具有相同长度i+1的递增子序列，若这些序列的最后一个数最小值为min_v[i]，其所在的序列为A，则若某个数能插入到序列A后面，必然能插入到其它相同长度的递增子序列后面，而能否插入到序列A后面，仅由min_v[i]值决定，因而只要维护min_v[i]值就够了。 当前数必然可以插入到某个长度为j（0<=j<=len， len为已找到的最长递增子序列长度）的序列后，使得旧 阅读全文
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《编程之美》读书笔记08：2.9 Fibonacci序列 计算Fibonacci序列最直接的方法就是利用递推公式 F(n+2)=F(n+1)+F(n)。而用通项公式来求解是错误的，用浮点数表示无理数本来就有误差，经过n次方后，当n相当大时，误差能足够大到影响浮点数转为整数时的精度，得到的结果根本不准。 用矩阵来计算，虽然时间复杂度降到O(log n)，但要用到矩阵类，相当麻烦。观察： F(n+2)=F(n)+F(n-1)＝2*F(n-1)+F(n-2)=3*F(n-2)+2*F(n-4) 用归纳法很容易证明 F(n) = F(k)*F(n+1-k) + F(k-1)*F(n-k)，利用该递推公 阅读全文
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《编程之美》读书笔记07： 2.5 寻找最大的K个数 问题： 从n个数中找出最大的k个数。 两种思路： 1 保存目前找到的最大k个数，每访问一个数，就与这k个数中的最小值比较，决定是否更新这k个数。储存k个数的数据结构可采用：败者树、二叉查找树、最小堆。 C++ STL提供了multiset和priority_queue容器，另外还提供了make_heap，push_heap，pop_heap方便手动构建堆结构。（测试发现，手工建堆的效率最高，当n和k增大到一定值时，采用红黑树的multiset的效率极差。手动建堆的效率相比priority_queue有略微提高。） 2 修改排序方法，去除不. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记21： 2.4 1的数目 问题： 给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有整数， 然后数一下其中出现的所有“1”的个数。 例如： N=2，写下 1，2。这样只出现了 1 个“1”。 N=12，我们会写下 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。这样 1 的个数是 5。 1. 写一个函数f(N)，返回1到N之间出现的“1”的个数,比如f(12)=5。 2. 在32位整数范围内，满足条件“f(N)= N”的最大的N是多少？ 曾在ChinaUnix论坛上看到该题，记得是google的面试题，有个网友给出了不错的解法，但他给出的证明倒是. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记22： 1.16 24点游戏（补充） 给定n个数，能否只通过加减乘除计算得到24？ 书上给出的最后一种解法，通过使用集合记录中间结果来减少冗余计算。本以为，程序会占用大量的内存，用一个极端的例子（13, 773, 28, 98, 731, 1357,97357246这7个数）测试了一下实现的程序，发现程序竟然占用了1G以上的内存（无论集合的实现采用STL中的set还是unordered_set），但后来，取7个均在1到13之间的数，再重新测试了下发现，程序所占用的内存比想像的小的多，也就几兆。 对数值都在1到13之间的n个数的所有组合进行判断。在n等于4时，实现的程序约过. 阅读全文
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《编程之美》读书笔记22： 1.16 24点游戏 给定4个数，能否只通过加减乘除计算得到24？由于只有4个数，弄个多重循环，就可以。如果要推广到n个数，有两种思路： ① 采用前缀/后缀表达式。相当于将n个数用n-1个括号括起来，其数目就是一个catlan数。最多可得到 f(n) = (1/n * (2*n - 2)! / (n-1)! / (n-1)!) * n! * 4^(n-1) = 4^(n-1) * (2*n-2)! / (n-1)! 种表达式，当n=4时，共可得到 7680种。 ② 从n个数中任意抽取2个，进行计算最多有6种结果，将计算结果放回去，再从剩下的n-1个任取2个，进行计. 阅读全文