避免计算过程中出现溢出的一个技巧

 

先看一道面试题：

 

长度为n的数组，由数字1到n组成，其中数字a不出现，数字b出现两次，其它的数字恰好出现一次。怎样通过只读遍历一次数组，找出数字a和b。

 

 

由于只能遍历一次，在遍历数组arr时，算出 a和b的差值，以及a和b的平方差，通过解方程，即可求得a和b。具体做法为：

设：

      s1 = 1 + 2 + ... + n           (= n * (n + 1) / 2)

      s2 = arr[0] + arr[1] + ... + arr[n - 1]

   

      r1 = 1 + 4 + ... + n^2          (= n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6)

      r2 = arr[0]^2 + arr[1]^2 + ... + arr[n - 1]^2

     

     c = a - b = s1 - s2

     d = a^2 - b^2 = r1 - r2

    显然：  a + b = (r1 - r2) / (s1 - s2)

根据a+b的值和a-b的值，很容易就可算出a和b。

 

算法虽然简单，但实现起来，却有一个很大问题：计算 s1、s2、r1、r2这4个数时，计算过程中可能出现溢出，造成结果不准。由于最终目的是为了计算出c和d，一个改进的方法是：

 c = s1 - s2 = (1 - arr[0]) + (2 - arr[1]) + ... + (n - arr[n - 1])

 d = (1 - arr[0]^2) + (4 - arr[1]^2) + ... + (n^2 - arr[n - 1]^2)

但这样的做法，并不能解决问题，n稍微大点，照样存在溢出问题。

 

那么怎样才能避免计算溢出呢？答案很简单，用模运算！每进行一次加减运算时，都取结果为原结果除以一个足够大的常数M的余数。这样加减运算中，就不会现现溢出问题。最后再由 c % M、d % M，推测出c、d的具体值。比如说，计算s2改为计算：

   s2 % M = ((((arr[0] % M) + arr[1]) % M + ...) % M + arr[n - 1]) %M

从表面上看，采用模运算后，计算量会增加很多。但实际上，若M取合适的值时，计算量并不会增加！！

 

先回顾下计算机基本知识：两个各N位（寄存器为N位）的二进制无符号整数a和b相加，若结果溢出了，CPU会怎么处理？当然是将溢出的那一位忽略掉（可能还要设置下溢出标志），得到的结果实际上是：(a + b) mod 2^N。无符号数间的算术运算，本质上就是模运算。现在的CPU都采用二补数来表示负整数，本质上也是运用模运算（教科书将二补数表示的负整数简单定义为：对正整数取反后加1），这与无符号数间的运算是一致的，在实现上，比用其它方法（比如说一补数）表示负整数，要优美易实现。

在32位平台下， -x mod 2^32 = 2^32 – x (x > 0)，

因而-1的二进制表示就是：0xFFFFFFFF

 

了解了这些，就不会奇怪C/C++标准的规定：无符号数间的运算是模运算不会溢出；有符号数转为无符数，采用模运算后的值。（为了兼容没采用二补数的机器，无符号数转为有符号数时，若无符号数的数值超出了有符号数可表示的范围，结果是平台相关的。）

 

因而，在对32位CPU平台，可以先将有符号数转为无符号数，再取M = 2 ^32。需要特别注意的是，应该采用多少位的无符号数保存计算中用到的数值，如何避免模运算可能带来的问题：

 

①　无符号数类型的选择：

a、b的取值范围为：[1, n]，

c % M = (a - b) % M 的取值范围为：[1, n] (a > b时)，   [M - n, M - 1] (a < b时)

这两个范围不能重叠，而因 n < M - n 即 2 * n < M

若 M取2^32的话，且 n < 2^31， 可以采用32位无符号数表示c的值。

根据c % M值在哪一个范围，可以确定a > b还是a < b，

由于运算过程中都是采用无符号数计算，当 a < b时，必须进行如下调整：

        c % M 调整为 (-c) % M

        d % M 调整为 (-d) % M

这样才能保证结果的正确性。

 

② 用公式计算所有数字的和、平方和时，可能出现的问题：

   模运算满足： (a * b) % M  = ((a % M) * (b % M)) % M

     但不满足： (a / b) % M  = ((a % M) / (b % M)) % M

   在计算 (n * (n + 1) / 2) % M时， 不能写成：

      s = ((n * (n + 1)) % M / 2) % M，

   而应该写成：

     if  (n % 2 == 0)   s = ((n / 2) * (n + 1)) % M

     else             s = (((n + 1) / 2) * n) % M

   或者：s = (INT((n + 1) / 2) * (n + (n + 1) % 2)) % M （其中INT(x)为取小数x的整数部份）。

 

完整代码：

 

#include <climits>

#include <cassert>

 

#define SMALL_ARRAY 0

 

struct Pair {

 int zero;

 int twice;

};

 

//32位CPU平台，长度n一定小于2^16次方时，表示一个数的平方值，可用32位无符号数类型，效率很高。

//长度n若在[2^16, 2^31]区间，就必须用到64位无符号数类型，效率较高。

//长度n若在[2^31, 2^32)时，表示 所有数的和sum，就必须改用64位无符号数类型，效率不高。 

Pair find_number(const int arr[], unsigned len)

{

 const unsigned bits = CHAR_BIT * sizeof(unsigned);

#if SMALL_ARRAY

 const unsigned max_len = 1u << (bits / 2u);

 typedef unsigned int uint;

#else

 const unsigned max_len = 1u << (bits - 1);

 typedef unsigned long long uint;

#endif

 

 assert(arr && len >= 2 && len < max_len);

 const unsigned* const data = (const unsigned*)arr;

 unsigned sum = 0;

 uint square_sum = 0;

 for (unsigned i = 0; i < len; ++i) {

    const unsigned value = data[i];

    sum += value;

    square_sum += (uint)value * value;    //注意两个数的乘积是否会溢出 

 }

 

 //1 + 2 + 3 + ... + len = len * (len + 1) / 2

 const uint sum_all = (len + 1) / 2u * (uint)(len + (len + 1) % 2u);

 

 //1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + len^2 = len * (len + 1) * (2 * len + 1) / 6

 const unsigned len2 = 2u * len + 1;

 const uint square_sum_all = len2 % 3u == 0 ? len2 / 3u * sum_all : sum_all / 3u * len2;

 

 unsigned difference = (unsigned)sum_all - sum;

 uint square_difference = square_sum_all - square_sum;

 const bool is_negative = difference > INT_MAX;

 

 if (is_negative) {

    difference = -difference;

    square_difference = -square_difference;

 }

  

 assert(difference != 0 && square_difference % difference == 0);

 const unsigned sum_two = square_difference / difference;

 

 assert((sum_two + difference) % 2u == 0);

 const unsigned larger = (sum_two + difference) / 2u;

 const unsigned smaller = (sum_two - difference) / 2u;

 

 if (is_negative) {

    const Pair result = { smaller, larger};

    return result;

 }

 const Pair result = { larger, smaller};

 return result;

}

 

 

int main()

{

 

}