用二叉树来理解树状数组

 

树状数组（Fenwick tree，又名binary indexed tree），是一种很实用的数据结构。它通过用节点i，记录数组下标在[ i –2^k + 1, i]这段区间的所有数的信息（其中，k为i的二进制表示中末尾0的个数，设lowbit(i) = 2^k），实现在O(lg n) 时间内对数组数据的查找和更新。

树状数组的传统解释图，不能很直观的看出其所能进行的更新和查询操作。其最主要的操作函数lowbit(k)与数的二进制表示相关，本质上仍是一种二分。因而可以通过二叉树，对其进行分析。事实上，从二叉树图，我们对它所能进行的操作和不能进行的操作一目了然。

和前面提到的点树类似，先画一棵二叉树，然后对节点中序遍历（点树是采用广度优先），每个节点仍然只记录左子树信息，见图：

 

 

 

由于采用的是中序遍历，从节点1到节点k时，刚好有k个叶子被统计。

可以证明：

  叶子k，一定在节点k的左子树下。

  以节点k为根的树，其左子树共有叶子lowbit(k)

节点k的父节点是：k + lowbit(k) 或 k - lowbit(k) 

节点k + lowbit(k) 是节点k的最近父节点，且节点k在它的左子树下。

节点k - lowbit(k) 是节点k的最近父节点，且节点k在它的右子树下。

节点k，统计的叶子范围为：(k - lowbit(k),  k]。

节点k的左孩子是：k - lowbit(k) / 2

 

下面分析树状数组两面主要应用：

1 更新数据x，进行区间查询。

2 更新区间，查询某个数。

由于，树状数组只统计了左子树的信息，因而只能查询更新区间[1, x]。只在在满足[x,y]的信息可以由[1,x-1]和[1,y]的信息推导出时，才能进行区间[x,y]的查询更新。这也是树状数组不能用于任意区间求最值的根本原因。

 

先定义两个集合：

up_right(k) ： 节点k所有的父节点，且节点k在它们的左子树下。

up_left(k) ：  节点k所有的父节点，且节点k在它们的右子树下。

 

1  更新数据x，查询区间[1,y]。

显然，更新叶子x，要找出叶子x在哪些节点的左子树下。因而节点k、所有的up_right(k)

都要更新。

查询[1, y]，实际上就是把该区间拆分成一系列小区间，并找出统计这些区间的节点。可以通过找出y在哪些节点的右子树下，这些节点恰好不重复的统计了区间[1, y-1]。因而要访问节点y、所有的up_left(y)。

 

2 更新区间[1,y]，查询数据x

  这和前面的操作恰好相反。与前面的最大不同之处在于：节点保存的不再是其叶子总个数这些信息，而是该区间的所有叶子都改变了多少。也就是说：每个叶子的信息，分散到了所有对它统计的节点上。因此操作和前面相似：

  更新[1,y]时，更新节点y、所有up_left(y)。

  查询x时，  访问x、所有up_right(x)。

 

前面的树状数组，只对左子树信息进行统计，如果从后往前读数据初始化树状数组，则变成只对右子树信息进行统计，这时更新和查询操作，刚好和前面的相反。

 

一般情况下，树状数组比点树省空间，对区间[1, M]只要M+1空间，查询更新时定位节点比较快，定位父节点和左右孩子相对麻烦点（不过，一般也不用到。从上往下查找，可参考下面代码中的erease_nth函数（删除第n小的数））。

 

下面是使用树状数组的实现代码（求逆序数和模拟约瑟夫环问题）：

 

 

//www.cnblogs.com/flyinghearts
#include<cstdio> 
#include<cstring> 
#include<cassert> 
 
template<int N> struct Round2k 
{ enum { down = Round2k<N / 2u>::down * 2}; };

template<> struct Round2k<1> { enum { down = 1}; };
 

template <int  Total, typename T = int>  //区间[1, Total]
class  BIT {
  enum { Min2k = Round2k<Total>::down};  
  T info[Total + 1];                
  T sz;                                 //可以用info[0]储存总大小
  
public:
  BIT() { clear(); }
  void clear() { memset(this, 0, sizeof(*this));}
  int size() { return sz; }

  int lowbit(int idx) { return idx & -idx;}
  //寻找最近的父节点，left_up/right_up 分别使得idx在其右/左子树下
  void left_up(int&  idx) { idx -= lowbit(idx); }
  void right_up(int&  idx) { idx += lowbit(idx); }

  void update(int idx ,const int val = 1) {   //叶子idx 改变val个  
    assert(idx > 0);
    sz += val;
    for (; idx <= Total; right_up(idx)) info[idx] += val; 
  }

  void init(int arr[], int n) {               // arr[i]为叶子i+1的个数
    assert(n <= Total);
    sz = n;
    // for (int i = 0; i < n; ) {
      // info[i + 1] = arr[i];
      // if (++i >= n) break;
      // info[i + 1] = arr[i];
      // ++i;
      // for (int j = 1; j < lowbit(i); j *= 2u) info[i] += info[i - j];
    // }  
    for (int i = 0; i < n; ) {
      info[i + 1] = arr[i];
      if (++i >= n) break;
      int sum = arr[i];
      int pr = ++i;
      left_up(pr);
      for (int j = i - 1; j > pr; left_up(j)) sum += info[j];
      info[i] = sum;  
    }
  }
  
  int count(int idx) {  //[1,idx] - [1, idx-1]
    assert(idx > 0);      
    int sum = info[idx];
    // int pr = idx;   //int pr = idx - lowbit(idx);    
    // left_up(pr);   
    // for (--idx; idx > pr; left_up(idx)) sum -= info[idx]; //
    // return sum;
    for (int j = 1; j < lowbit(idx); j *= 2u) sum -= info[idx - j];
    return sum;
  }  
  
  int lteq(int idx) {                                  //小等于
    assert(idx >= 1 && idx <= Total);
      int sum = 0;
    for (; idx > 0; left_up(idx)) sum += info[idx];
      return sum;
  }
  
  int gt(int idx) { return sz - lteq(idx); }           //大于

  int operator[](int n)  { return erase_nth(n, 0); }  //第n小
  
  int erase_nth(int n, const bool erase_flag = true)   //删除第n小的数
  {
    assert(n >=1 && n <= sz);
    sz -= erase_flag;
    int idx = Min2k;                               //从上往下搜索，先定位根节点 
    for (int k = idx / 2u; k > 0; k /= 2u) {
      int t = info[idx];
      if (n <= info[idx]) { info[idx] -= erase_flag; idx -= k;}  //进入左子树      
      else {
        n -= t;
        if (Total != Min2k && Total != Min2k - 1) //若不是完全二叉树
          while (idx + k > Total)  k /= 2u;       //则必须计算右孩子的编号 
        idx += k;                                  //进入右子树   
      }
    }
    assert(idx % 2u);                   //最底层节点m一定是奇数，有两个叶子m，m+1
    if (n > info[idx]) return idx + 1;  //节点m+1前面已经更新过
    info[idx] -= erase_flag; 
    return idx;
  }

  void show()
  {
    for (int i = 1; i <= Total; ++i)
      if (count(i)) printf("%2d ", i);
    printf("\n");  
  }
  
}; 



void ring()           //约瑟夫环
{
  const int N = 17;   //N个人编号：1,2, ... N
  const int M = 7;    //报数：1到M，报到M的出列
  printf(" N: %d   M: %d\n", N, M);
  BIT<N> pt;
  // for (int i = 0; i < N; ++i) pt.update(i + 1);
  int arr[N];
  for (int i = 0; i < N; ++i) arr[i] = 1;
  pt.init(arr, N);

  for (int j = N, k = 0; j >= 1; --j) {
    k = (k + M-1) % j;
    int t = pt.erase_nth(k + 1);
    printf(" turn: %2d  out: %2d   rest:  ", N - j, t);
    pt.show();
  }
  printf(" \n\n");
}

int ra(int arr[], int len) //求逆序数-直接搜索
{
  int sum = 0;
  for (int i = 0; i < len - 1; ++i)
    for (int j = i + 1; j < len; ++j)
      if (arr[i] > arr[j]) ++sum;
  return sum;    
}

template<int N>
int rb(int arr[], int len) //求逆序数-使用树状数组
{
  BIT<N> pt;
  int sum = 0;
  for (int i = 0; i < len; ++i) {
    pt.update(arr[i] + 1);
    sum += pt.gt(arr[i] + 1);
  }
  return sum;  
}


int main()
{
  int arr[] = { 4,3,2,1,0,5, 1,3,0,2};
  const int N = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
  printf("%d %d\n\n", ra(arr, N), rb<6>(arr, N));
  ring();
}