求1到n这n个整数间的异或值 （O(1)算法)

问题：求1到n这n个整数间的异或值，即 1 xor 2 xor 3 ... xor n

 

记 f(x, y) 为x到y的所有整数的异或值。

 

对 f(2^k, 2^(k+1) -1) (注意文章中的 ^ 表示的是“幂”，xor 表示“异或”，or 表示“或”)：

2^k 到 2^(k+1) -1 这2^k个数，最高位（+k位）的1个数为2^k，

若 k >= 1，则2^k为偶数，将这2^k个数的最高位(+k位)去掉，异或值不变。

因而 f(2^k, 2^(k+1) -1) = f(2^k - 2^k, 2^(k+1) -1 -2^k) = f(0, 2^k -1)

因而 f(0, 2^(k+1) -1) = f(0, 2^k -1) xor f(2^k, 2^(k+1) -1) = 0 (k >= 1)

即 f(0, 2^k - 1) = 0 (k >= 2)

 

对 f(0, n)  (n >= 4) 设n的最高位1是在+k位(k >= 2)，

f(0, n) = f(0, 2^k - 1) xor f(2^k, n) = f(2^k, n)

对2^k到n这n+1-2^k个数，最高位(+k位)共有 m = n+1-2^k 个1,去除最高位的1

 

当n为奇数时，m是偶数，因而 f(0, n) = f(2^k, n) = f(0, n - 2^k)

由于n - 2^k 与 n同奇偶，递推上面的公式，可得：f(0, n) = f(0, n % 4)

当 n % 4 == 1 时， f(0, n) = f(0, 1) = 1

当 n % 4 == 3 时， f(0, n) = f(0, 3) = 0

 

当n为偶数时，m是奇数，因而 f(0, n) = f(2^k, n) = f(0, n - 2^k)  or  2^k

也就是说，最高位1保持不变，由于n - 2^k 与 n同奇偶，递推上面的公式，

可得：f(0, n) = nn or  f(0, n % 4)   (nn为 n的最低2位置0)

当 n % 4 == 0 时， f(0, n) = n

当 n % 4 == 2 时， f(0, n) = nn or  3 = n + 1 （公式对 n = 2仍成立）

 

综上所述：

f(1, n)  =  f(0, n)  =

   n      n % 4 == 0

   1      n % 4 == 1

   n +1   n % 4 == 2

0      n % 4 == 3

 

代码：

unsigned xor_n(unsigned n)

{

 unsigned t = n & 3;

 if (t & 1) return t / 2u ^ 1;

 return t / 2u ^ n;

}