《编程之美》读书笔记10： 2.18 数组分割

《编程之美》读书笔记10： 2.18 数组分割

如果直接遍历，则至少要遍历 Cr(n-1,2*n)次（Cr(m,n)为从n个数中取m个数的组合数），为了减少遍历次数，可以先对数组排序。再将所有可能的组合大致分成几组，每个组的数组和也是升序的，通过不断的分组、查找，确定上下边界条件，最终找到所求子数组。

如果数组各个元素均不相同，可以采用下面的算法：

先将数组{a_i}排序，并计算出各元素的总和的一半S(=Sum/2.0)，（对数组的划分时，可以先选中a₀，再取n-1个数）。

假设T_i=sum(a₀+a_i+a_n+2+a_n+3…+a_2n-1) (0<i<=n+1) 则数组{T_i}也是升序。如果T_n+1<=S则T_n+1即为所求，如果存在T_i=S，则T_i即为所求。否则，可以通过二分法找到唯一的i、j使得T_i<S<T_j，（选中a₀和a_j），记录T_i，假设R_i=sum(a₀+a_j+a_i+a_n+3+a_n+4…+a_2n-1) (j<i<=n+2)，则T_j=R_n+2，比较T_i、R_j+1、R_n+2，再对R_i进行类似T_i的分析，找出下一个数。通过不断的分组和查找和判断，最终可以找到所求的n个数。

例如：长度为8的数组：共有35种组合，对每种组合的子数组和，可以划分到几个区间：(下面的0123表示取a₀+a₁+a₂+a₃)

较小值   较大值

0123 —— 0167 （共15个）

0234 —— 0267 （共10个）

0345 —— 0367 （共6个）

0456 —— 0467 （共3个）

0567 —— 0567 （共1个）

(各个较大值不必计算，它们间必然只有一个数不同（并且这个不同的数在升序数列中的位置是连续的），查找S在哪两个较大值之间，可以用S减去相同的数的和，得到的差去指定的范围（不同的那个数的位置范围）进行二分查找。)

由于数组是升序，数组元素各不相同，右边的“较大值”都是升序排列且不会重复。利用数组和的一半S进行查找，如果S在0267和0367之间。只要记录0267，并在适当时候判断该记录是否是所求的，展开0345——0367的6个数，

0345 —— 0347（共3个）

0356 —— 0357（共2个）

0367 —— 0367（共1个）

再重复上述操作。