《编程之美》读书笔记17： 2.16 求数组中最长递增子序列

《编程之美》读书笔记17： 2.16 求数组中最长递增子序列

 

思路：每处理一个数，都可以将这个数插入到已经找到的某个递增子序列（假设包含无限个长度为0的空序列）后，使其长度增加1，处理完毕后，这些长度最大值即为所求。

 

具有相同长度i+1的递增子序列，若这些序列的最后一个数最小值为min_v[i]，其所在的序列为A，则若某个数能插入到序列A后面，必然能插入到其它相同长度的递增子序列后面，而能否插入到序列A后面，仅由min_v[i]值决定，因而只要维护min_v[i]值就够了。

 

当前数必然可以插入到某个长度为j（0<=j<=len， len为已找到的最长递增子序列长度）的序列后，使得旧的min_v[j+1]（假设该数组每个值初始化为无穷大）大等于该数，必须更新min_v[j+1]等于该数。如果序列是严格递增的，则只能找到一个这样的j值；如果序列是非严格递增的，可能找到不止一个j，取所有j值最大的即可，因为插入到其它的，min_v[j+1]值不会发生改变。

 

具体过程：

用min_v[i]保存当前已找到的所有长度为i的递增子序列的最后一个数的最小值。

用len保存当前已找到的最长递增子序列的长度。

对输入src[n]， 显然 min_v[0]=src[0]，这时len=1

从输入数组的第二个数开始，(假设要求所求子序列严格递增)

比较当前值value和长度为len的子序列最后一个值(min_v[len-1])

1若value > min_v[len-1]，则可以将value加在已找到的最长递增子序列后面,得到长度为len+1的更长的递增子序列，即有min_v[len]=value，且len值加1。

2若value <= min_v[len-1]，则可以找到0<=j<=len-1满足： value <= min_v[j]，

   如果j=0，则value可组成长度为1的子序列，

如果j>0，则可以将value加在由min_v[j-1]决定的长度为j的子序列后，得到新的长度为j+1的子序列。

均有min_v[j]=value

 

如果要输出一个最长递增子序列，可以用一个数组info[i]记录第i+1个src[n]数能得到最长递增子序列的长度（info[i]等于前面要写入value的位置在min_v的下标加1）。再同时扫描一遍这两个数组，从后往前扫描，先找到第一个对应长度为len的数A，然后找到第一个对应长度为len-1且比A小的数，以此类推找出所有的数。

 

size_t lis(const int src[], size_t sz)
{
  if (src==NULL || sz<1) return 0; 
  //min_v[i]为当前已找到的长度为i+1的所有递增子序列的最后一个值的最小值。
  vector<int> min_v(sz);
  min_v[0]=src[0];
  //len为当前已找到的最长递增子序列的长度
  size_t i,len=1;
  int value;
  for (i=1; i<sz; ++i) {
    value=src[i];
    //假设递增子序列是严格递增    
    if (value>min_v[len-1]) min_v[len++]=value;
    else *lower_bound(&min_v[0],&min_v[len], value)=value;
  }
  return len;
}