N 阶贝塞尔曲线生成

博客转自：https://blog.csdn.net/aimeimeits/article/details/72809382

首先贝塞尔曲线简介，了解了基本的贝塞尔曲线知识之后，展开N阶贝塞尔曲线的生成方式。

N阶贝塞尔曲线的公式

百度百科上给出的一般参数公式是这样的：给定点 P0,P1,P2, … ,Pn，其贝塞尔曲线公式如下(即贝塞尔曲线上的点 B(t) 可由如下公式计算得到)

可以看出其公式是由一个格式固定的表达式之和来表示，这个表达式就是关键：

 该表达式可分为四个部分看：

• 从 i 递增到 n 的常数部分
• Pi 坐标部分
• (1 - t)^(n - i)
• t^i

 可以看出这四部分都与 i 的值相关，此外 t 值的计算方式为：i/(n+1)

可以从具体的例子中找到抽象规律

设 Bt 为要计算的贝塞尔曲线上的坐标，N 为控制点个数，P0,P1,P2..Pn 为贝塞尔曲线控制点的坐标，当 N 值不同时有如下计算公式: 如 N 为 3 表示贝塞尔曲线的控制点有 3 个点，这时 n 为 2 ，这三个点分别用 P0,P1,P2 表示。

• N = 3: P = (1-t)^2*P0 + 2*(1-t)*t*P1 + t^2*P2
• N = 4: P = (1-t)^3*P0 + 3*(1-t)^2*t*P1 + 3(1-t)*t^2*P2 + t^3*P3
• N = 5: P = (1-t)^4*P0 + 4*(1-t)^3*t*P1 + 6(1-t)^2*t^2*P2 + 4*(1-t)*t^3*P3 + t^4*P4

将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示：设有常数 a,b 和 c，则该表达式可统一表示为如下形式

a * (1 - t)^b * t^c * Pn

分析当 N 分别为3,4,5 时对应 a,b,c 的值：如 N = 3 时，公式有三个表达式，第一个表达式为 (1-t)^2*P0，其对应 a,b,c 值分别为：1,2,0

N = 3:   1,2,0   2,1,1   1,0,2
a: 1 2 1
b: 2 1 0
c: 0 1 2
N = 4:   1,3,0   3,2,1   3,1,2   1,0,3
a: 1 3 3 1
b: 3 2 1 0
c: 0 1 2 3
N = 5:   1,4,0   4,3,1   6,2,2   4,1,3   1,0,4
a: 1 4 6 4 1
b: 4 3 2 1 0
c: 0 1 2 3 4

根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则：

• b: (N - 1) 递减到 0 (b 为 1-t 的幂)
• c: 0 递增到 (N - 1) (c 为 t 的幂)
• a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示：

N=1:———1
N=2:——–1  1
N=3:——1  2  1
N=4:—–1  3  3  1
N=5:—1  4  6  4  1
a 值的改变规则为： 杨辉三角

C++实现代码

void n_bezier(int resolution)
{
    int number = waypoints.size();
    if (number < 2)
    {
        return;
    }
    int dimension = waypoints[0].size();
    if (dimension < 2)
    {
        return;
    }

    std::vector<std::vector<double>> n_bezier_tmp_pts;

    //计算杨辉三角
    std::vector<int> a_para; a_para.resize(number);
    a_para[0] = a_para[1] = 1;

    for (int i = 3; i <= number; i++)
    {
        std::vector<int> tmp;
        tmp.resize(i - 1);
        for (int j = 0; j < tmp.size(); j++)
        {
            tmp[j] = a_para[j];
        }

        a_para[0] = a_para[i - 1] = 1;
        for (int j = 0; j < i - 2; j++)
        {
            a_para[j + 1] = tmp[j] + tmp[j + 1];
        }
    }

    n_bezier_tmp_pts.resize(resolution);
    cv::Mat img_out; img.copyTo(img_out);

    //计算坐标点
    for (int i = 0; i < resolution; i++)
    {
        float t = (float)i / resolution;

        n_bezier_tmp_pts[i].resize(dimension);
        for (int j = 0; j < dimension; j++)
        {
            float temp = 0.0f;
            for (int k = 0; k < number; k++)
            {
                temp += std::pow(1 - t, number - k - 1) * waypoints[k][j] * std::pow(t, k) * a_para[k];
            }

            n_bezier_tmp_pts[i][j] = temp;
        }

        cv::circle(img_out, cv::Point2d(n_bezier_tmp_pts[i][0], n_bezier_tmp_pts[i][1]), 2, cv::Scalar(255, 0, 255), -1);
    }
    
    cv::imshow("spline", img_out);
}

显示效果如下

等有时间，整理完备，会更新到Githu