3D数学 ---- 矩阵的更多知识（5）

一般仿射变换

3x3矩阵仅能表达3D中的线性变换，不能包含平移。经过4x4矩阵的武装后，现在我们可以构造包含平移在内的一般仿射变换矩阵了。例如：

（1）绕不通过原点的轴旋转。

（2）沿不穿过原点的平面缩放。

（3）沿不穿过原点的平面镜像。

（4）向不穿过原点的平面正交投影。

它们的基本思想是将变换的"中心点"平移到原点，接着进行线性变换，然后再将"中心点"平移回原来的位置。开始使用平移矩阵T将点P移到原点，接着用线性变换矩阵R进行线性变换，最终的仿射变换矩阵M等于矩阵的积，即：TRT-1。T-1是平移矩阵，执行和T相反的变换。

观察这种矩阵的一般形式，它非常有趣。让我们先用 "分块"形式写出前面用到的T、R、T-1。

可以看出，仿射变换中增加的平移部分仅仅改变了4x4矩阵的最后一行，并没有影响到上面所包含的线性变换的3x3部分。

 

透视投影

学习透视投影最好的方法是将它和平行投影相比较。正交投影也称作平行投影，因为投影线都是平行的（投影线是指从原空间中的点到投影点的连线）。正交投影中的平行线如图9.3所示：

3D中的透视投影仍然是投影到2D平面上，但是投影线不再平行，实际上，它们相交于一点，该点称作投影中心。如图9.4所示：

因为投影中心在投影平面前面，投影线到达平面之前已经相交，所以投影平面上的图像是翻转的。当物体远离投影中心时，正交投影仍保持不变，但透视投影变小了。如图9.5所示：

图9.5中，右边的茶壶离投影平面更远，所以它的投影比离投影平面较近的那个茶壶小。这是一种非常重要的视觉现象，称作透视缩略。

 

小孔成像

透视投影在图形学中非常重要，因为它是人类视觉系统的模型。实际上，人类视觉系统远比这复杂，因为我们有两只眼睛，而且对于每只眼睛，投影表面（视网膜）不是一个平面。所以，让我们来看一个简单些的例子----小孔成像。小孔成像系统就是一个盒子，一侧上有小孔，光线穿过小孔照射到另一侧的背面，那里就是投影平面。如图9.6所示：

图9.6中，盒子左面和右面是透明的，以使你能看见盒子内部。注意盒子内部的投影是倒着的，这是因为光线（投影线）已经在小孔处（投影中心）相交了。

让我们探索小孔成像背后的几何原理。设想一个3D坐标系，它的原点在投影中心，z轴垂直于投影平面，x和y轴平行于投影平面。如图9.7所示：

让我们看看能否计算出任意点p通过小孔投影到投影平面上的坐标p'。首先，需要知道小孔到投影平面的距离，设为d。因此，投影平面为z=-d。现在，从另一个角度来看问题，求出新的y。如图9.8所示。

由相似三角形得到：

注意小孔成像颠倒了图像，py和py'的符号相反。px'的值可通过类似的方法求得：

所有投影点的z值都是相同的：-d。因此，点p通过原点向平面z=-d投影的结果如公式9.11所示：

在实际应用中，负号会带来不必要的复杂性。所以将投影平面移到投影的前面（也就是说，平面z=d），如图 9.9所示：

当然，这对于实际的小孔成像是不可能的。因为设置小孔的目的就是使光线只能通过小孔，但在计算机数学世界中，可以不理会这些规定。如你所愿，将投影平面移到投影中心前面，烦人的负号消失了，如公式9.12所示：

 

使用4x4矩阵进行透视投影

从4D到3D的变换就意味着除法运算，因此我们可以利用4x4阶矩阵来编写代码，以实现透视投影。基本思想是提出一个关于p'的公式，其中的x、y、z有公分母，然后构造一个4x4矩阵，使w与这个公分母相等。这里我们假设初始点处有w=1。

先对3D形式表达的p'公式变形，可以得到：

将4D齐次向量变换到3D时，要用4D向量除以w，反推可知p'的4D形式为：

[x  y   z  z/d]

因此我们需要一个4x4矩阵，它可接收一个奇异的齐次向量。该向量的形式为[x, y, z, 1]，然后将其变换为上述形式。这样的矩阵如公式9.13所示：

这样就得到了一个4x4投影矩阵，有几个需要注意的地方：

（1）乘以这个矩阵并没有进行实际的透视投影变换，它只是计算出合适的分母。投影实际发生在从4D向3D变换时。

（2）存在多种变换。例如，将投影平面放在z=0处而投影中心在[0, 0, -d]，这将导致一个不同的公式。

（3）这里看起来比较复杂，似乎只需要简单地除以z，不必劳烦矩阵。那么为什么要使用齐次矩阵呢？第一，4x4矩阵提供了一个方法将投影表达为变换，这样就能和其他变换相连接；第二，使得投影到不平行于坐标轴的平面变得可行。实际上，我们不需要齐次坐标做任何运算，但4x4矩阵提供了一种简洁的方法表达和操纵投影变换。

（4）实际的图形几何管道中的投影矩阵不像这里导出的那样，还有许多重要的细节需要考虑。如用以上矩阵对向量进行变换后，z值实际上被舍弃了，而很多图形系统的z缓冲用到了该值。