3D数学 ---- 矩阵的更多知识（3）

正交矩阵的运算法则

若方阵M是正交的，则当且仅当M与它转置矩阵MT的乘积等于单位矩阵，见公式9.8：

矩阵乘以它的逆等于单位矩阵：M M-1 = I

所以，如果一个矩阵是正交的，那么它的转置等于它的逆：

这是一条非常有用的性质，因为在实际应用中经常需要计算矩阵的逆，而3D图形计算中正交矩阵出现又是如此频繁。比如旋转和镜像矩阵是正交的，如果知道矩阵是正交的，就可以完全避免计算逆矩阵了，这也将大大减少计算量。

 

正交矩阵的几何解释

正交矩阵对我们非常有用，因为很容易计算它的逆矩阵。但怎样知道一个矩阵是否正交，以利用它的性质呢？

很多情况下，我们可以提前知道矩阵是如何建立的，甚至了解矩阵是仅包含旋转、镜像呢，还是二者皆有（记住：旋转和镜像矩阵是正交的）。这种情况非常普遍。

如果无法提前清楚矩阵的某些情况呢？换句话说，对于任意矩阵M，怎样检测它是否正交？为了做到这一点，让我们从正交矩阵的定义开始，以3x3阶矩阵为例。设M是3x3矩阵，根据定义，当且仅当 M MT = I 时M是正交的。它的确切含义如下：

现在做一些解释：

（1）当且仅当一个向量是单位向量时，它与自身的点积结果是1。因此，仅当r1、r2、r3是单位向量时，第1、5、9式才能成立。

（2）当且仅当两个向量是互相垂直时，它们的点积为0。因此，仅当r1、r2、r3互相垂直时其他等式才成立。

所以，若一个矩阵是正交的，它必须满足下列条件：

矩阵的每一行都是单位向量，矩阵的所有行互相垂直。

对矩阵的列也能得到类似的条件，这使得以下结论非常清楚：如果M是正交的，则MT也是正交的。

计算逆矩阵时，仅在预先知道矩阵是正交的情况下才能利用正交性的优点。如果预先不知道，那么检查正交性经常是浪费时间。即使在最好的情况下，先检查正交性以确定矩阵是否正交再进行转置，和一开始就进行求逆运算也将耗费同样多的时间。而如果矩阵不是正交，那么这种检查完全是浪费时间。

注意，有一个术语上的差别可能会导致轻微的混淆。线性代数中，如果一组向量互相垂直，这组向量就被认为是正交基（orthogonal basis）。它只要求所有向量互相垂直，并不要求所有向量都是单位向量。如果它们都是单位向量，则称它们为标准正交基（orthogonal basis）。这里所讲的正交矩阵的行或列向量都是指标准正交基向量（orthogonal basis vectors），所以由一组正交基向量构造的矩阵并不一定是正交矩阵（除非基向量是标准正交的）。

 

矩阵正交化

有时可能会遇到略微违反了正交性的矩阵。例如，可能从外部得到了坏数据，或者是浮点运算的累积错误（称作”矩阵爬行“）。这些情况下，需要做矩阵正交化，得到一个正交矩阵，这个矩阵要尽可能地和原矩阵相同（至少希望是这样）。

构造一组正交基向量（矩阵的行）的标准算法是施密特正交化。它的基本思想是，对每一行，从中减去它平行于已处理过的行的部分，最后得到垂直向量。

以3x3矩阵为例，和以前一样，用r1、r2、r3代表3x3阶矩阵M的行。正交向量组r1'、r2'、r3'的计算如公式9.9所示：

现在r1'、r2'、r3'互相垂直了，它们是一组正交基。当然，它们不一定是单位向量。构造正交矩阵需要使用标准正交基，所以必须标准化这些向量。注意，如果一开始就进行标准化，而不是在第2步中做，就能避免所有除法了。

施密特正交化是有偏差的，这取决于基向量列出的顺序。一个明显的例子是，r1总不用改变。该算法的一个改进是不在一次正交化过程中将整个矩阵完全正交化。而是选择一个小的因子k，每次只减去投影的k倍，而不是一次将投影全部减去。改进还体现在，在最初的轴上也减去投影。这种方法避免了因为运算顺序不同带来的误差。算法总结如下:

该算法的每次迭代都会使这些基向量比原来的基向量更为正交化，但可能不是完全正交的，多次重复这个过程，最终将得到一组正交基。要得到完美的结果，就得选择一个适当的因子k并迭代足够多次（如：10次）。接着，进行标准化，最后就会得到一组正交基。